www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Aljabar Linear » Matriks › Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Metode Ekspansi Kofaktor
Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Metode Ekspansi Kofaktor
Pada artikel ini, kita akan membahas cara lain untuk memperoleh determinan suatu matriks yakni dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Kita telah mempelajari dua cara menghitung determinan matriks. Pertama dengan menggunakan metode Sorrus dan kedua dengan menggunakan operasi baris elementer. Pada artikel ini, kita akan membahas cara lain untuk memperoleh determinan suatu matriks yakni dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Ada dua istilah yang perlu dipahami terlebih dahulu yakni minor entri dan kofaktor entri. Kita definisikan sebagai berikut.
Definisi :
Jika \(A\) adalah matriks kuadrat dengan entri atau elemennya \(a_{ij}\), maka yang disebut minor entri \(a_{ij}\) atau dinotasikan dengan \(M_{ij}\) adalah determinan submatriks setelah baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dicoret dari \(A\). Bilangan \((-1)^{(i + j)} M_{ij}\) yang dinotasikan dengan \(C_{ij}\) dinamakan kofaktor entri \(a_{ij}\).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal berikut.
Contoh 1:
Misalkan terdapat matriks berikut.
Tentukan minor entri dan kofaktor dari \(a_{11}\) dan \(a_{32}\).
Pembahasan:
Dari definisi yang diberikan di atas, maka minor entri \(a_{11}\) adalah
Perhatikan bahwa di sini kita mencoret baris dan kolom pertama dari matriks A sehingga diperoleh submatriks baru berukuran 2 x 2. Determinan dari submatriks yang diperoleh disebut minor entri \(a_{11}\).
Dengan demikian, kofaktor \(a_{11}\) yaitu
Hal yang sama dapat kita lakukan untuk mencari minor entri \(a_{32}\), yakni
dan kofaktor \(a_{32}\) yaitu
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen \(a_{ij}\) hanya berbeda dalam tandanya, yakni, \(C_{ij} = ±M_{ij}\). Cara cepat untuk menentukan penggunaan tanda + atau tanda – berasal dari kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan \(C_{ij}\) dan \(M_{ij}\) berada dalam baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dari susunan
Misalnya, \(C_{21} = -M_{21}\), \(C_{12} = -M_{12}, C_{22} = M_{22}\), dan seterusnya.
Sekarang kita akan mengaitkan apa yang telah kita pelajari di atas mengenai minor entri dan kofaktor entri dengan pencarian determinan suatu matriks. Misalkan diketahui matriks A berukuran \(3 × 3\) sebagai berikut:
\[ A = \left[ {\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} } \right] \]
Kita tahu bahwa determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan Rumus Sorrus, yakni:
yang mana dapat dituliskan kembali sebagai:
Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tak lain adalah kofaktor-kofaktor \(C_{11}, C_{21}\), dan \(C_{31}\), maka kita peroleh
 |
(1) |
Persamaan (1) memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan kemudian menjumlahkan hasil kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
Contoh 2: Menghitung Determinan
Misalkan diketahui matriks A sebagai berikut.
Hitunglah \(\det(A)\) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
Pembahasan:
Dari persamaan (1) diperoleh
Dengan cara yang sama seperti kita lakukan untuk memperoleh persamaan (1), determinan matriks A dapat dihitung dengan rumus berikut:
|
(2) |
Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri-entri dan kofaktor berasal dari baris atau dari kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor \(\det(A)\).
Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks \(3×3\) membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut:
Teorema:
Determinan matriks \(A\) yang berukuran \(n × n\) dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni, untuk setiap \(1≤i≤n\) dan \(1≤j≤n\), maka
dan
Contoh 3: Menghitung Determinan
Tinjaulah matriks A berikut.
Hitunglah det(A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
Pembahasan:
Dari persamaan (2) baris kedua diperoleh
Ini sesuai dengn hasil yang kita peroleh pada contoh kita sebelumnya.
Pada contoh ini kita tak perlu menghitung kofaktor akhir, karena kofaktor tersebut dikalikan oleh nol. Umumnya, strategi terbaik untuk menghitung determinan dengan menggunakan ekpansi kofaktor adalah dengan mengekspansikannya sepanjang baris atau kolom yang mempunyai bilangan nol yang terbanyak.
Ekspansi kofaktor dan operasi baris atau operasi kolom kadang-kadang dapat digunakan bersama-sama untuk memberikan metode yang efektif untuk menghitung determinan. Contoh berikut melukiskan gagasan ini.
Contoh 4: Menghitung Determinan
Hitunglah \(\det(A)\) di mana
Pembahasan:
Dengan menambahkan perkalian yang sesuai dari baris kedua pada baris selebihnya, kita dapatkan
Sumber:
Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
Artikel Terkait
As you grow older, you will discover that you have two hands, one for helping yourself, the other for helping others