JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Matriks › Definisi dan Sifat-sifat Invers Matriks
Matriks

Definisi dan Sifat-sifat Invers Matriks

Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.

Contoh 1: Invers Matriks

Misalkan terdapat dua matriks

Gambar

Perkalian dua matriks tersebut akan menghasilkan matriks identitas, yakni

Gambar

Dengan demikian, kita katakan bahwa matriks \(A\) dapat dibalik dan \(B\) adalah invers dari \(A\).

Contoh 2: Invers Matriks

Matriks

Gambar

tidak dapat dibalik. Untuk melihat mengapa demikian, misalkan matriks B berikut

Gambar

adalah sebarang matriks \(3×3\). Kolom ketiga dari matriks BA dapat dihitung dengan:

Gambar

Jadi,

Gambar

Selain itu, kita tahu bahwa matriks yang mempunyai baris atau kolom yang semua elemen pada baris atau kolom tersebut berisi bilangan nol akan mempunyai determinan bernilai nol dan karena itu matriks tersebut tidak dapat dibalik atau tidak mempunyai invers.

Pertanyaan yang kemudian muncul adalah apakah matriks yang dapat dibalik dapat mempunyai lebih dari satu invers. Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa jawabannya adalah tidak – bahwa matriks yang dapat dibalik mempunyai persis satu invers.

Teorema 1:

Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C.

Jika A dapat dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol \(A^{-1}\). Jadi

Gambar

Untuk mencari invers matriks berukuran 2 x 2, kita dapat gunakan rumus berikut.

Gambar

Jadi, invers dari matriks \(\left( {\begin{array}{rr} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{array} } \right)\) adalah

Gambar

Perhatikanlah bahwa kita dapat mencari invers dari suatu matriks berukuran \(2 × 2\) dengan sangat mudah. Akan tetapi, bagaimana dengan matriks yang berukuran lebih tinggi, misalnya \(3 × 3, \ 4 × 4\) atau bahkan lebih besar dari itu? Rumus yang disediakan di atas tidak akan banyak membantu.

Oleh karena itu, pada artikel berikutnya kita akan menggunakan beberapa metode lain untuk mencari invers matriks yang dapat dibalik yang ukurannya lebih besar dari \(2 × 2\). Namun, sebelum sampai ke situ pada artikel ini kita akan terlebih dahulu memahami sifat-sifat yang ada pada invers matriks.

Sifat-sifat Invers Matriks

Teorema 2:

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka

(a) AB dapat dibalik

(b) \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)

Sebuah hasilkali matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan invers hasil kali tersebut adalah hasil kali invers dalam urutan yang dibalik.

Contoh 3: Sifat Invers Matriks

Tinjaulah matris-matriks

Gambar

Dengan menerapkan rumus yang kita pelajari sebelumnya, kita dapatkan

Gambar

dan juga

Gambar

Maka, \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) seperti yang ditunjukan oleh Teorema di atas.

Selanjutnya, kita akan mendefinisikan pangkat-pangkat matriks kuadrat dan membahas sifat-sifatnya terkait dengan invers matriks.

Definisi:

Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka kita mendefinisikan pangkat-pangkat bilangan bulat tak negatif A menjadi

Gambar

Akan tetapi, jika A dapat dibalik, maka kita mendefinisikan pangkat bilangan bulat negatif menjadi

Gambar

Teorema 3:

Jika A adalah matriks kuadrat dan \(r\) serta \(s\) adalah bilangan bulat, maka

Gambar

Teorema 4:

Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:

  1. \(A^{-1}\) dapat dibalik dan \((A^{-1})^{-1} = A\)
  2. \(A^n\) dapat dibalik dan \((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\) untuk \(n = 0, 1, 2,…\)
  3. Untuk setiap skalar \(k\) yang tak sama dengan nol, maka \(kA\) dapat dibalik dan \((kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}\).
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

Yesterday is history; tomorrow is a mystery. Today is a gift, which is why we call it the present.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: