JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Diagonalisasi Matriks › Diagonalisasi Ortogonal Matriks
Matriks

Diagonalisasi Ortogonal Matriks

Matriks A kuadrat dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga \( P^{-1} AP = P^T AP \) diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Matriks \(A\) kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks \(P\) yang ortogonal sehingga \(P^{-1}AP=P^TAP\) diagonal; matriks \(P\) dikatakan mendiagonalisasi \(A\) secara ortogonal.

Perlu diingat bahwa matriks ortogonal adalah suatu matriks khusus di mana invers-nya dapat diperoleh dengan mentransposkan. Dengan kata lain, sebuah matriks persegi P dikatakan ortogonal jika transposnya sama dengan inversnya.

Kita mempunyai dua pertanyaan yang akan ditinjau:

  1. Matriks-matriks manakah yang dapat didiagonalisasi secara ortogonal?
  2. Bagaimana kita mencari matriks ortogonal untuk melaksanakan diagonalisasi?

Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita perlu memahami definisi matriks simetris.

Definisi:

Matriks \(A\) kuadrat kita namakan simetrik jika \(A = A^T\).

Contoh 1: Matriks Simetris

Jika

\[ A = \left[ {\begin{array}{rr} 1 & 4 & 5 \\ 4 & -3 & 0 \\ 5 & 0 & 7 \\ \end{array} } \right] \]

adalah simetris, maka

\[ A^T = \left[ {\begin{array}{rr} 1 & 4 & 5 \\ 4 & -3 & 0 \\ 5 & 0 & 7 \\ \end{array} } \right] = A \]

Dengan demikian matriks \(A\) dikatakan simetris.

Teorema berikut ini merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah matriks dapat didiagonalisasi secara ortogonal.

Teorema:

Jika \(A\) adalah matriks \(n×n\), maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

  1. \(A\) dapat didiagonalisasi secara ortogonal.
  2. \(A\) mempunyai himpunan ortonormal dari \(n\) vektor eigen.
  3. \(A\) adalah simetrik
Sifat-Sifat Matriks Simetris

Kita sekarang beralih ke masalah untuk mencari matriks \(P\) yang ortogonal untuk mendiagonalisasi matriks simetris. Kuncinya ada pada teorema berikut:

Teorema:

Jika \(A\) adalah matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan ortogonal.

Contoh 2: Diagonalisasi Ortogonal Matriks

Carilah matriks ortogonal \(P\) yang mendiagonalisasi

Gambar

Pembahasan:

Persamaan karakteristik \(A\) adalah

Gambar

Jadi, nilai-nilai eigen \(A\) adalah \(λ=2\) dan \(λ=8\). Adapun vektor-vektor

Gambar

membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=2\). Dengan menerapkan proses Gramm-Schmidt terhadap \(\{u_1,u_2\}\) akan menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal.

Gambar

Ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=8\) mempunyai

Gambar

sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gramm-Schmidt terhadap \(\{u_3\}\) maka akan menghasilkan

Gambar

Akhirnya, dengan menggunakan \(v_1,v_2,\) dan \(v_3\) sebagai vektor-vektor kolom maka kita dapatkan

Gambar

yang akan mendiagonalisasi \(A\) secara ortogonal. (Sebagai pemeriksaan, anda bisa membuktikan bahwa \(P^TAP\) adalah matriks diagonal).

Gambar

Kita simpulkan bagian ini dengan menyatakan dua sifat penting dari matriks simetrik.

Teorema:

  1. Persamaan karakteristik matriks \(A\) simetrik hanya mempunyai akar-akar riil.
  2. Jika nilai eigen \(λ\) dari matriks simetrik \(A\) diulangi \(k\) kali sebagai akar persamaan karakteristik tersebut, maka ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ\) adalah ruang berdimensi \(k\).

Contoh 3: Diagonalisasi Ortogonal Matriks

Persamaan karakteristik matriks simetrik

Gambar

adalah

Gambar

sehingga nilai-nilai eigen adalah \(λ=4,λ=1\), dan \(λ=2\), di mana \(λ=4\) dan \(λ=1\) diulangi dua kali dan \(λ=2\) terjadi sekali. Jadi ruang-ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=4\) dan \(λ=1\) adalah ruang berdimensi 2 dan ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=2\) adalah ruang berdimensi 1.

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

It’s never too late – never too late to start over, never too late to be happy.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: