Aljabar Linear
Matriks A kuadrat dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga \( P^{-1} AP = P^T AP \) diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Oleh Tju Ji Long · Statistisi
Matriks \(A\) kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks \(P\) yang ortogonal sehingga \(P^{-1}AP=P^TAP\) diagonal; matriks \(P\) dikatakan mendiagonalisasi \(A\) secara ortogonal.
Perlu diingat bahwa matriks ortogonal adalah suatu matriks khusus di mana invers-nya dapat diperoleh dengan mentransposkan. Dengan kata lain, sebuah matriks persegi P dikatakan ortogonal jika transposnya sama dengan inversnya.
Kita mempunyai dua pertanyaan yang akan ditinjau:
Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita perlu memahami definisi matriks simetris.
Definisi:
Matriks \(A\) kuadrat kita namakan simetrik jika \(A = A^T\).
Contoh 1: Matriks Simetris
Jika
\[ A = \left[ {\begin{array}{rr} 1 & 4 & 5 \\ 4 & -3 & 0 \\ 5 & 0 & 7 \\ \end{array} } \right] \]
adalah simetris, maka
\[ A^T = \left[ {\begin{array}{rr} 1 & 4 & 5 \\ 4 & -3 & 0 \\ 5 & 0 & 7 \\ \end{array} } \right] = A \]
Dengan demikian matriks \(A\) dikatakan simetris.
Teorema berikut ini merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah matriks dapat didiagonalisasi secara ortogonal.
Teorema:
Jika \(A\) adalah matriks \(n×n\), maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.
Kita sekarang beralih ke masalah untuk mencari matriks \(P\) yang ortogonal untuk mendiagonalisasi matriks simetris. Kuncinya ada pada teorema berikut:
Teorema:
Jika \(A\) adalah matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan ortogonal.
Contoh 2: Diagonalisasi Ortogonal Matriks
Carilah matriks ortogonal \(P\) yang mendiagonalisasi
Pembahasan:
Persamaan karakteristik \(A\) adalah
Jadi, nilai-nilai eigen \(A\) adalah \(λ=2\) dan \(λ=8\). Adapun vektor-vektor
membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=2\). Dengan menerapkan proses Gramm-Schmidt terhadap \(\{u_1,u_2\}\) akan menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal.
Ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=8\) mempunyai
sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gramm-Schmidt terhadap \(\{u_3\}\) maka akan menghasilkan
Akhirnya, dengan menggunakan \(v_1,v_2,\) dan \(v_3\) sebagai vektor-vektor kolom maka kita dapatkan
yang akan mendiagonalisasi \(A\) secara ortogonal. (Sebagai pemeriksaan, anda bisa membuktikan bahwa \(P^TAP\) adalah matriks diagonal).
Kita simpulkan bagian ini dengan menyatakan dua sifat penting dari matriks simetrik.
Teorema:
Contoh 3: Diagonalisasi Ortogonal Matriks
Persamaan karakteristik matriks simetrik
adalah
sehingga nilai-nilai eigen adalah \(λ=4,λ=1\), dan \(λ=2\), di mana \(λ=4\) dan \(λ=1\) diulangi dua kali dan \(λ=2\) terjadi sekali. Jadi ruang-ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=4\) dan \(λ=1\) adalah ruang berdimensi 2 dan ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=2\) adalah ruang berdimensi 1.
Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
It’s never too late – never too late to start over, never too late to be happy.
Jane Fonda