www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Aljabar Linear » Diagonalisasi Matriks › Matriks Ortogonal: Materi, Contoh Soal dan Pembahasan
Matriks Ortogonal: Materi, Contoh Soal dan Pembahasan
Suatu matriks khusus di mana invers-nya dapat diperoleh dengan mentransposkan disebut matriks ortogonal. Dengan kata lain, sebuah matriks persegi A dikatakan orthogonal jika transposnya sama dengan inversnya.
Pada artikel ini kita akan membahas kelas matriks yang mana invers nya bisa diperoleh dengan mentransposkan. Kita mulai dengan definisi berikut.
Definisi: Matriks orthogonal
Sebuah matriks persegi \(A\) dikatakan orthogonal jika transposnya sama dengan inversnya, yaitu, jika \[A^{-1} = A^T\]
atau, secara ekuivalen, jika \[AA^T=A^T A=I\]
Contoh 1: Matriks Ortogonal \(3 × 3\)
Matriks
adalah orthogonal karena
Perhatikan bahwa untuk matriks ortogonal dalam Contoh 1, baik vektor baris maupun vektor kolomnya membentuk himpunan ortonormal yang bersesuaian dengan perkalian dalam Euclidian. Ini merupakan konsekuensi dari teorema berikut.
Teorema:
Berikut ini adalah ekuivalen untuk matriks \(A\) berukuran \(n × n\)
- \(A\) adalah orthogonal
- Vektor baris \(A\) membentuk himpunan ortonormal dalam \(R^n\) dengan perkalian dalam Euclidian.
- Vektor kolom \(A\) membentuk himpunan ortonormal dalam \(R^n\) dengan perkalian dalam Euclidian.
Teorema berikut mendaftarkan 4 sifat penting dari matriks ortogonal.
Teorema:
Berikut ini adalah ekivalen untuk matriks \(A\) berukuran nxn
- Transpos dari matriks ortogonal adalah ortogonal
- Invers dari matriks ortogonal adalah ortogonal
- Perkalian matriks ortogonal adalah ortogonal
- Jika \(A\) adalah ortogonal, maka \(\det(A)=1\) atau \(\det(A)=-1\).
Contoh 2:
Matriks
adalah ortogonal karena vektor baris (dan kolom) membentuk himpunan ortonormal dalam \(R^n\) dengan perkalian dalam Euclidian. Anda bisa membuktikan bahwa \(\det(A)=1\) dan bahwa dengan mengubah baris akan menghasilkan matriks ortogonal yang mana determinan nya adalah -1.
Sumber:
Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
Artikel Terkait
Life is very interesting… in the end, some of your greatest pains, become your greatest strengths.