JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Diagonalisasi Matriks › Diagonalisasi Matriks
Matriks

Diagonalisasi Matriks

Matriks kuadrat A dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga \(P^{-1}AP\) diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dalam banyak penerapan, mengetahui apakah suatu matriks kuadrat atau matriks persegi dapat didiagonalisasi merupakan hal yang penting, misalnya untuk menghitung pangkat suatu matriks yang besar.

Masalah Diagonalisasi Matriks

Diketahui matriks kuadrat \(A\), apakah terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik sehingga \(P^{-1} AP\) diagonal? Masalah ini menyarankan definisi berikut.

Definisi:

Matriks kuadrat \(A\) dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik sehingga \(P^{-1} AP\) diagonal; matriks \(P\) dikatakan mendiagonalisasi \(A\).

Teorema:

Jika \(A\) adalah matriks \(n×n\), maka pernyataan-pernyatan berikut ekivalen satu sama lain.

  1. \(A\) dapat didiagonalisasi.
  2. \(A\) mempunyai \(n\) vektor eigen yang bebas linear
Prosedur mendiagonalkan matriks \(A\) berukuran \(n×n\)

Berikut adalah prosedur untuk mendiagonalkan matriks \(A\) berukuran \(n×n\) yang dapat didiagonalisasi.

Langkah 1. Carilah \(n\) vektor eigen bebas linear \(A\), \(p_1,p_2,…,p_n\).

Langkah 2. Bentuklah matriks \(P\) yang mempunyai \(p_1,p_2,…,p_n\) sebagai vektor-vektor kolomnya.

Langkah 3. Matriks \(P^{-1} AP\) akan diagonal dengan \(λ_1,λ_2,…,λ_n\) sebagai entri-entri diagonalnya yang berurutan, di mana \(λ_i\) adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan \(p_i,i=1,2,…n\).

Contoh 1: Diagonalisasi Matriks

Carilah matriks \(P\) yang mendiagonalkan

Gambar

Pembahasan:

Nilai-nilai eigen dari matriks \(A\) adalah \(λ=1\) dan \(λ=5\). Adapun vektor-vektor berikut

Gambar

membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=5\), dan

Gambar

adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=1\). Dengan mudah anda dapat memeriksa bahwa \(\{p_1,p_2,p_3\}\) bebas linear, sehingga

Gambar

akan mendiagonalkan \(A\). Sebagai pemeriksaan, anda harus membuktikan bahwa

Gambar

Tidak ada urutan yang diistimewakan untuk kolom-kolom P. Karena entri diagonal ke-i dari \(P^{-1} AP\) adalah nilai eigen untuk vektor kolom ke-i dari P, maka dengan mengubah urutan kolom-kolom P hanyalah mengubah urutan nilai-nilai eigen pada diagonal \(P^{-1} AP\). Jadi, seandainya kita tuliskan

Gambar

di dalam contoh terakhir, maka kita akan memperoleh

Gambar

Contoh 2: Matriks yang Tidak Dapat Didiagonalisasi

Persamaan karakteristik dari

Gambar

adalah

Gambar

Jadi, \(λ=-1\) adalah satu-satunya nilai eigen \(A\); vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan \(λ=-1\) adalah pemecahan-pemecahan dari \((-I-A)x=0\); yakni, dari

Gambar

Pemecahan sistem ini adalah \(x_1=t, \quad x_2=t\); maka ruang eigen tersebut terdiri dari semua vektor yang berbentuk

Gambar

Karena matriks \(A\) berukuran \(2 × 2\) sedangkan hanya ada satu basis vektor, maka \(A\) tidak dapat didiagonalisasi.

Contoh 3: Matriks yang Tidak Dapat Didiagonalisasi

Tunjukkan bahwa matriks berikut tidak dapat didiagonalisasi

Gambar

Pembahasan:

Karakteristik polinomial dari \(A\) adalah

Gambar

sehingga persamaan karakteristiknya adalah

Gambar

dan nilai eigen yang berbeda dari \(A\) adalah \(λ=1\) dan \(λ=2\). Adapun basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yaitu

Gambar

Karena matriks \(A\) berukuran \(3 × 3\) sedangkan hanya ada dua basis vektor, maka \(A\) tidak dapat didiagonalisasi.

Dalam banyak penerapan tidaklah penting menghitung matriks transisi \(P\) yang mendiagonalkan matriks \(A\) secara aktual. Sebaliknya, yang istimewa adalah mengetahui apakah \(A\) dapat didiagonalisasi. Sering, informasi ini dapat dilibatkan secara langsung dari nilai eigen tanpa melakukan kerja penghitungan vektor eigen. Untuk melihat mengapa ini sedemikian, kita membutuhkan teorema berikut.

Teorema:

Jika \(v_1,v_2,…,v_k\) adalah vektor-vektor eigen \(A\) yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda \(λ_1,λ_2,…,λ_k\), maka \({v_1,v_2,…,v_k}\) adalah himpunan bebas linear.

Sebagai konsekuensi teorema ini, kita dapatkan hasil yang berguna berikut.

Teorema:

Jika matriks \(A\) yang berukuran \(n×n\) mempunyai \(n\) nilai eigen yang berbeda, maka \(A\) dapat didiagonalisasi.

Contoh 4: Diagonalisasi Matriks

Perhatikan bahwa matriks

Gambar

mempunyai 3 nilai eigen yang berbeda, \(λ=4,λ=2+\sqrt{3},λ=2-\sqrt{3}\). Dengan demikian, \(A\) dapat didiagonalisasi. Selanjutnya,

Gambar

untuk suatu matriks \(P\) yang dapat dibalik. Jika diinginkan, maka matriks \(P\) dapat dicari dengan menggunakan metode yang diperlihatkan pada Contoh 1.

Perlu dicatat bahwa kebalikan dari teorema ini tidak benar; yakni, matriks \(A\) yang berukuran \(n×n\) dapat didiagonalisasi walaupun matriks tersebut tidak mempunyai \(n\) nilai eigen yang berbeda.

Contoh 5: Diagonalisasi Matriks

Misalnya, jika

\[ A = \left[ {\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3\\ \end{array} } \right] \]

maka persamaan karakteristik \(A\) adalah

Gambar

sehingga \(λ=3\) adalah satu-satunya nilai eigen \(A\). Namun \(A\) jelas dapat didiagonalisasi karena dengan \(P=I\), maka

\[ P^{-1}AP = I^{-1}AI = A = \left[ {\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3\\ \end{array} } \right] \]

Diagonalisasi Matriks Segitiga

Kita tahu bahwa nilai-nilai eigen dari matriks segitiga adalah entri-entri pada diagonal utama. Oleh karena itu, matriks segitiga dengan entri-entri yang berbeda pada diagonal utama adalah dapat didiagonalisasi. Sebagai contoh, matriks

Gambar

adalah matriks yang dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen \(λ_1=-1,λ_2=3,λ_3=5,λ_4=-2\).

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

The secret of happiness you see is not found in seeking more, but in developing the capacity to enjoy less.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: