JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Sistem Persamaan Linear › SPL Homogen dan Non-Homogen
Sistem Persamaan Linear

SPL Homogen dan Non-Homogen

Sebuah sistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol. Pemecahan sistem persamaan linear homogen dapat berupa pemecahan trivial dan pemecahan tak trivial.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sebuah sistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol, yakni sistem tersebut mempunyai bentuk

Gambar

Tiap-tiap sistem persamaan linar homogen adalah sistem yang konsisten, karena \(x_1 = 0, x_2 = 0,…, x_n = 0\) selalu merupakan pemecahan. Pemecahan tersebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution).

Karena sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai solusi trivial, maka hanya terdapat dua kemungkinan untuk pemecahannya, yakni:

  1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
  2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial.

Perhatikan kasus khusus sistem persamaan linear homogen dengan dua persamaan dan dua bilangan tak diketahui berikut:

Gambar

Grafik dari persamaan tersebut adalah garis yang melalui titik asal (origin), dan solusi trivial yang bersesuaian dengan titik perpotongan juga berada pada titik asal tersebut (Gambar 1).

Gambar

Gambar 1. Ilustrasi SPL Homogen

Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan taktrivial; yakni jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak variabel daripada banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa bisa demikian, simak contoh SPL Homogen berikut dengan empat persamaan dan enam variabel.

Contoh 1:

Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear homogen berikut:

Gambar

Pembahasan:

Matriks yang diperbesar (augmented matrix) untuk sistem persamaan homogen ini adalah

Gambar

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkan

Gambar

Sistem persamaan linear yang bersesuaian adalah

Gambar

Persamaan di atas dapat dituliskan kembali menjadi

Gambar

Dengan demikian, himpunan pemecahannya yaitu:

Gambar

Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita peroleh bila \(r=s=t=0\).

Teorema 1:

Sistem persamaan linear homogen dengan lebih banyak variabel daripada banyaknya persamaan selalu mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan.

Dari Contoh 1, kita dapat mengantisipasi bahwa sistem homogen tersebut akan memiliki banyak solusi karena memiliki empat persamaan dalam enam bilangan yang tidak diketahui.

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

It is not the load that breaks you down. It's the way you carry it.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: