www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar   »   Lingkaran   ›  Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter

Pada bagian ini akan dibahas persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. Terdapat tiga kondisi untuk ini, yakni persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di O(0,0), persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di M(a,b), dan terakhir persamaan garis singgung yang melalui suatu titik dengan persamaan umum lingkaran.

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran yang Berpusat di O(0,0)

Amati lingkaran pada Gambar 1. Titik \( A(x_1,y_1) \) terletak tepat pada lingkaran yang berpusat di O(0,0) dengan persamaan \( x^2 + y^2 = r^2 \). Dengan demikian, kita peroleh persamaan berikut

Gambar Gambar

Gambar 1. Garis yang menyinggung lingkaran di titik A.

Jika dari titik \( A(x_1,y_1) \) dibuat garis \(g\) sedemikian hingga menyinggung lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) maka garis \(g\) tegak lurus OA. Misalkan gradien garis OA adalah \( m_{OA} \) dan gradien garis \(g\) adalah \(m_g\), maka diperoleh

Gambar

Garis OA tegak lurus garis \(g\), sehingga

Gambar

Dengan demikian, persamaan garis \(g\) adalah

Gambar

Dari persamaan (1) dan (2) didapat:

Gambar

Jadi, persamaan garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \) pada lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) adalah

Gambar

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan garis singgung di titik (2,-3) pada lingkaran \(x^2+y^2=13\).

Pembahasan:

Sesuai dengan rumus persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=r^2\) di \((x_1,y_1)\) maka persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=13\) di (2,-3) adalah

Gambar

Jadi, persamaan garis singgung di titik (2,-3) pada lingkaran \(x^2+y^2=13\) adalah \(2x – 3y = 13\).

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran yang Berpusat di M(a,b)

Amati lingkaran pada Gambar 2. Suatu persamaan lingkaran C berpusat di (a,b) dan berjari-jari r dengan persamaan \( C: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \), dan suatu titik \( A(x_1,y_1) \) pada C mempunyai persamaan garis singgung g di \( A(x_1,y_1) \).

Gambar

Gambar 2. Garis singgung menyinggung lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) di titik \( A(x_1,y_1) \)

Dengan translasi \( \left( {\begin{array}{rr} -a \\ -b \end{array} } \right) \) terhadap \( C: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) maka diperoleh \( C': x^2 + y^2 = r^2 \). Adapun titik \( A(x_1,y_1) \) pada lingkaran C akan menjadi \( A'(x_1-a,y_1-b) \) pada \( C': x^2 + y^2 = r^2 \).

Berdasarkan rumus garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0) di A(x,y) maka persamaan garis singgung lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) di \( A'(x_1-a,y_1-b) \) adalah g' dengan persamaan \( (x_1-a)x + (y_1-b)y = r^2 \)

Oleh translasi berlawanan dari \( \left( {\begin{array}{rr} -a \\ -b \end{array} } \right) \), yaitu \( \left( {\begin{array}{rr} a \\ b \end{array} } \right) \) terhadap garis singgung g' maka diperoleh garis singgung g terhadap \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) di \(A(x_1,y_1)\). Translasi \( \left( {\begin{array}{rr} a \\ b \end{array} } \right) \) terhadap \( (x_1-a)x + (y_1-b)y = r^2 \) menjadi garis dengan persamaan

Gambar

Jadi, persamaan garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \) pada lingkaran yang berpusat di M(a,b) adalah

Gambar

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan garis singgung di titik (2,4) pada lingkaran \((x+4)^2+(y-5)^2=37\).

Pembahasan:

Persamaan garis singgung adalah

Gambar

Jadi, persamaan garis singgung di titik (2,4) pada lingkaran \((x+4)^2+(y-5)^2=37\) adalah \(6x-y=8\).

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran dengan Persamaan Bentuk Umumnya

Kita telah mempelajari bahwa bentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan sebagai

\[ x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0 \]

Kita dapat mengubah bentuk umum persamaan lingkaran tersebut menjadi seperti berikut:

Gambar

Persamaan garis singgung di titik \( A(x_1,y_1) \) adalah

Gambar

Jadi, persamaan garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \) pada lingkaran \( x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0 \) adalah

Gambar

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 3:

Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran \(x^2+y^2-6x+2y-3=0\) di titik yang berabsis 5.

Pembahasan:

\(x= 5\) disubstitusikan ke lingkaran \(x^2+y^2-6x+2y-3=0\)

Gambar

Diperoleh titik singgung A(5,-4) dan B(5,2).

Persamaan garis singgung adalah

Gambar

Sehingga,

Gambar

Dengan demikian,

Persamaan garis singgung di titik A(5,-4) adalah

Gambar

Persamaan garis singgung di titik B(5,2) adalah

Gambar

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah \( 2x-3y-22=0 \) dan \( 2x+3y-16=0 \).

Cukup sekian penjelasan mengenai persamaan garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel Terkait

Certain things catch your eye, but pursue only those that capture the heart.