Integral sin x ln(cos x) dx - Contoh soal integral fungsi logaritma natural

Bahas Soal Matematika » Integral › Integral Logaritma Natural

Tentukan hasil dari \( \int \sin x \ln(\cos x) \ dx = \cdots \ ? \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan gunakan kombinasi dari teknik integral substitusi dan parsial. Pertama kita gunakan metode substitusi dengan memisalkan \( t = \cos x \), sehingga \( dt = -\sin x \ dx \) dan

\begin{aligned} \int \sin x \ln(\cos x) \ dx = -\int \ln t \ dt \end{aligned}

Untuk menyelesaikan integral \( \int \ln t \ dt \), kita gunakan teknik integral parsial.

\begin{aligned} \int \sin x \ln(\cos x) \ dx &= -\int \ln t \ dt = - \int u \ dv \\[8pt] &= -\left(uv - \int v \ du \right) \\[8pt] &= -\left( \ln t \cdot t - \int t \cdot \frac{1}{t} \ dt \right) \\[8pt] &= -t \ln t + t + C \\[8pt] &= -\cos x \cdot \ln(\cos x) - \cos x + C \end{aligned}