Integral cos x ln(sin x) dx - Contoh soal integral fungsi logaritma natural

Bahas Soal Matematika » Integral › Integral Logaritma Natural

Tentukan hasil dari \( \int \cos x \ln(\sin x) \ dx = \cdots \ ? \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan gunakan kombinasi dari teknik integral substitusi dan parsial. Pertama kita gunakan metode substitusi dengan memisalkan \( t = \sin x \), sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} &t = \sin x \Leftrightarrow \frac{dt}{dx} = \cos x \Rightarrow dt = \cos x \ dx \\[8pt] &\int \cos x \ln(\sin x) \ dx = \int \ln t \ dt \end{aligned}

Untuk menyelesaikan integral \( \int \ln t \ dt \), kita gunakan teknik integral parsial.

\begin{aligned} \int \cos x \ln(\sin x) \ dx &= \int \ln t \ dt = \int u \ dv \\[8pt] &= uv - \int v \ du \\[8pt] &= \ln t \cdot t - \int t \cdot \frac{1}{t} \ dt \\[8pt] &= t \ln t - t + C \\[8pt] &= \sin x \cdot \ln(\sin x) - \sin x + C \end{aligned}