JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Bentuk Kuadratik › Bentuk Kuadratik
Bentuk Kuadratik

Bentuk Kuadratik

Dalam beberapa kasus, bentuk kuadratik lebih mudah diterapkan ketika tidak memiliki suku-suku hasil kali silang, yaitu ketika matriks bentuk kuadratik adalah matriks diagonal.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Suatu bentuk kuadratik dengan \(n\) variabel \((x_1, x_2,…, x_n\)) adalah suatu ekspresi yang dapat ditulis sebagai

Gambar

di mana \(A\) adalah suatu matriks \(n×n\) yang simetris. Matriks \(A\) disebut matriks bentuk kuadratik.

Definisi: Bentuk Kuadratik

Bentuk kuadrat dinyatakan sebagai berikut:

Gambar

di mana koefisien-koefisien \(a_{ij}\) merupakan elemen-elemen dari bentuk kuadrat dalam variabel \((x_1, x_2,…, x_n\)).

Contoh 1:

Misalkan \( X = \left[ {\begin{array}{rr} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} } \right] \) . Hitung \( X^TAX \) untuk matriks berikut.

Gambar

Pembahasan:

  1. Bentuk kuadratik dari matriks A pada (a) adalah
  2. Gambar
  3. Bentuk kuadratik dari matriks A pada (b) adalah
  4. Gambar

Kehadiran \(-4x_1x_2\) pada bentuk kuadratik bagian (b) disebabkan terdapat dua entri dengan nilai -2 dari diagonal pada matriks A. Sebaliknya, bentuk kuadratik yang berkaitan dengan matriks diagonal A pada (a) tidak mempunyai bentuk perkalian silang \( x_1x_2 \).

Contoh 2:

Diketahui persamaan:

Gambar

Nyatakanlah bentuk kuadratik tersebut dalam bentuk \( X^TAX \).

Pembahasan:

Matriks bentuk tersebut boleh dituliskan dalam banyak cara tergantung pada bagaimana suku hasilkali silang \(-4x_1 x_2\) dan \(8x_1 x_3\) dipisahkan untuk membentuk suku-suku \(a_{12}x_1 x_2, a_{21} x_2 x_1\) dan \(a_{13} x_1 x_3, a_{31} x_1 x_3\).

Karena matriks dari bentuk kuadratik adalah matriks yang simetri maka suku-suku hasil kali silang \(a_{ij} = a_{ji}\). Sehingga,

Gambar

Contoh 3:

Diketahui \( Q(x) = x_1^2-8x_1x_2-5x_2^2 \). Hitung nilai \( Q(x) \) untuk

Gambar

Pembahasan:

Gambar
Perubahan Variabel dalam Bentuk Kuadratik

Dalam beberapa kasus, bentuk kuadratik lebih mudah digunakan ketika mereka tidak memiliki suku-suku hasilkali silang — yaitu, ketika matriks bentuk kuadratik adalah matriks diagonal. Untungnya, suku-suku hasilkali silang dapat dihilangkan dengan membuat perubahan variabel yang sesuai.

Jika \(x\) menyatakan vektor variabel dalam \(R^n\), maka perubahan variabel adalah sebuah persamaan dalam bentuk

Gambar

di mana \(P\) adalah matriks yang dapat dibalik dan \(y\) adalah sebuah vektor variabel baru pada \(R^n\).

Jika perubahan variabel (1) dilakukan pada bentuk kuadratik \(X^T AX\), maka

Gambar

dan matriks baru bentuk kuadratik tersebut adalah \(P^T AP\). Karena \(A\) adalah simetris, maka terdapat matriks ortogonal \(P\) sedemikian sehingga \(P^T AP\) adalah matriks diagonal \(D\), dan bentuk kuadratik pada (2) menjadi \(y^T Dy\). Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 4:

Lakukanlah perubahan variabel yang mentransformasi bentuk kuadratik pada Contoh 3 menjadi bentuk kuadratik baru tanpa hasil kali silang.

Pembahasan:

Matriks bentuk kuadratik pada Contoh 3 adalah

Gambar

Langkah pertama adalah mendiagonalisasi secara ortogonal matriks \(A\). Nilai eigen untuk matriks \(A\) adalah \(λ=3\) dan \(λ=-7\). Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut adalah

Gambar

Vektor-vektor ini ortogonal secara otomatis (karena mereka mempunyai nilai eigen yang berbeda ) sehingga memberikan sebuah basis ortonormal untuk \(R^2\). Andaikan

Gambar

Maka \(A=PDP^{-1}\) dan \(D=P^{-1} AP=P^T AP\), seperti ditunjukkan sebelumnya. Perubahan variabelnya adalah

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Untuk mengilustrasikan makna kesamaan bentuk kuadratik dalam Contoh 4, kita bisa menghitung \(Q(x)\) untuk \(x = (2,-2)\) menggunakan bentuk kuadratik baru. Pertama, karena \(x = Py\),

Gambar

Sehingga

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Ini adalah nilai \(Q(x)\) dalam Contoh 3 ketika \(x = (2, -2)\). Lihat gambar 1 berikut ini.

Gambar

Gambar 1. Perubahan variabel \(X^T AX\)

Contoh 4 memberikan teorema berikut ini.

Teorema: Teorema Sumbu Utama

Andaikan \(A\) adalah matriks simetris n x n. Maka terdapat suatu perubahan variabel yang ortogonal, \(x = Py\), yang mentransformasi bentuk kuadratik \(X^T AX\) menjadi bentuk kuadratik \(y^T Dy\) tanpa suku-suku hasilkali silang.

Kolom-kolom matriks \(P\) dalam teorema tersebut disebut sumbu-sumbu utama (principal axes) bentuk \(X^T AX\).

Pandangan Geometris Sumbu Utama (A Geometric View of Principal Axes)

Misalkan \(Q(x)=X^T AX\), di mana \(A\) adalah matriks simetris 2 x 2 yang dapat dibalik, dan andaikan \(c\) adalah sebuah konstanta. Bisa ditunjukkan bahwa himpunan semua \(x\) dalam \(R^2\) yang memenuhi

\[ X^TAX = c \qquad \qquad (3) \]

akan mempunyai bentuk berupa elips (atau lingkaran), hiperbola, dua garis yang berpotongan, atau sebuah titik tunggal, atau tidak mempunyai titik sama sekali. Jika \(A\) adalah matriks diagonal, grafiknya berada dalam posisi standar, seperti pada Gambar 2.

Gambar

Gambar 2. Sebuah elips dan hiperbola dalam posisi standar

Jika \(A\) bukan matriks diagonal, grafik persamaan (3) dirotasi terhadap posisi standar, seperti pada Gambar 3. Mencari sumbu-sumbu utama (yang ditentukan oleh vektor eigen \(A\)) sama dengan mencari sistem koordinat baru sehubungan dengan grafik pada posisi standar.

Gambar

Gambar 3. Sebuah ellips atau hiperbola tidak dalam posisi standar

Hiperbola dalam Gambar 3(b) adalah grafik persamaan \(X^T AX=16\), di mana \(A\) adalah matriks dalam Contoh 4. Sumbu-\(y_1\) yang positif dalam Gambar 3(b) adalah menurut arah kolom pertama matriks P (in the direction of the first column of the matrix P) pada Contoh 4, dan sumbu-\(y_2\) positif adalah menurut arah kolom kedua matriks P.

Contoh 5:

Elips pada Gambar 3(a) adalah grafik persamaan \(5x_1^2-4x_1 x_2+5x_2^2=48\). Cari perubahan variabel yang menghilangkan suku hasilkali silang dari persamaan tersebut.

Pembahasan:

Matriks bentuk kuadratik adalah

Gambar

Nilai eigen dari matriks \(A\) yaitu 3 dan 7, dengan vektor eigen yang bersesuaian adalah

Gambar

Andaikan

Gambar

Maka P mendiagonalisasi secara ortogonal matriks \(A\), sehingga perubahan variabel \(x = Py\) menghasilkan bentuk kuadratik \(y^T Dy=3y_1^2+7y_2^2\). Sumbu-sumbu baru untuk perubahan variabel ini ditunjukkan dalam Gambar 3(a).

Mengklasifikasi Bentuk Kuadratik

Ketika \(A\) matriks n x n, bentuk kuadratik \(Q(x)=X^T AX\) adalah fungsi yang bernilai riil dengan domain \(R^n\). Gambar 4 menampilkan empat grafik bentuk kuadratik dengan domain \(R^2\).

Gambar

Gambar 4. Grafik bentuk kuadratik

Contoh 2 x 2 dalam Gambar 4 memberikan kita ilustrasi definisi berikut:

Definisi:

Misalkan \(A\) matriks simetris, bentuk kuadratik \(Q(x) = X^TAX\) merupakan:

  • Definit positif jika nilai \(X^TAX > 0\) untuk setiap \(X ≠ 0\)
  • Semidefinit positif jika nilai \(X^TAX ≥ 0\) untuk setiap \(X\)
  • Semidefinit negatif jika nilai \(X^TAX ≤ 0\) untuk setiap \(X\)
  • Definit negatif jika nilai \(X^TAX < 0\)untuk setiap \(X ≠ 0\)
  • Tak definit (indefinit) jika dan hanya jika A mempunyai nilai positif dan negatif.

Bentuk kuadratik pada bagian (a) dan (b) dari Gambar 4 adalah semidefinit positif, tetapi bentuk dalam (a) lebih baik digambarkan sebagai definit positif.

Teorema mencirikan beberapa bentuk kuadratik dalam hal nilai eigen.

Teorema: Bentuk Kuadratik dan Nilai Eigen

Andaikan A adalah matriks simetris n x n. Maka bentuk kuadratik \( X^TAX\) adalah

  • definit positif jika dan hanya jika nilai eigen dari A semuanya positif,
  • definit negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari A semuanya negatif, atau
  • Semidefinit positif jika dan hanya jika nilai eigen 0 dan positif
  • Semidefinit negatif jika dan hanya jika nilai eigen 0 dan negatif
  • tak definit (indefinit) jika dan hanya jika A mempunyai nilai eigen positif dan negatif.

Contoh 6: Bentuk Kuadratik

Dari matriks

Gambar

dapat ditunjukkan bahwa matriks ini mempunyai nilai-nilai eigen \(λ = 2\) dan \(λ = 8\). Karena nilai-nilai eigen ini positif, maka matriks \(A\) definit positif, dan untuk semua \(x ≠ 0\)

Gambar

Contoh 7: Bentuk Kuadrat

Apakah \(Q(x)=3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1 x_2+4x_2 x_3\) adalah definit positif?

Pembahasan:

Karena mempunyai tanda positif semua, bentuk ini “tampaknya” adalah definit positif. Tapi matriks bentuk ini adalah

Gambar

dan nilai eigen \(A\) ternyata adalah 5, 2, dan -1. Sehingga \(Q\) adalah bentuk kuadratik indefinit, bukan definit positif.

Teorema:

Suatu matriks simetris \(A\) definit positif jika dan hanya jika determinan dari setiap submatriks utamanya positif.

Contoh 8: Bentuk Kuadrat

Matriks

Gambar

adalah definit positif karena

Gambar

semuanya positif. Jadi, ada jaminan bahwa semua nilai eigen dari \(A\) positif dan \(X^TAX > 0\) untuk semua \(x ≠ 0\).

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

There are three things you can do with your life: You can waste it, you can spend it, or you can invest it. The best use of your life is to invest it in something that will last longer than your time on Earth.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: