Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Kalkulus I » Turunan Fungsi › Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Kita telah mempelajari fungsi trigonometri dan invers trigonometri pada artikel sebelumnya. Pada artikel ini kita akan mencari turunan dari fungsi invers trigonometri.

Kita telah mempelajari fungsi trigonometri dan invers trigonometri pada artikel sebelumnya di mana kita tahu bahwa agar suatu fungsi trigonometri mempunyai invers, maka domain atau daerah asalnya perlu dibatasi. Pembatasan domain ini penting untuk menjamin bahwa fungsi trigonometri tersebut benar-benar mempunyai invers.

Invers trigonometri dapat dituliskan dengan memberikan pangkat (-1) pada fungsi trigonometri. Contoh, invers dari fungsi sinus dapat ditulis \( \sin^{-1} x \). Selain dalam notasi pangkat (-1), fungsi invers trigonometri juga dapat dinyatakan dalam bentuk arc. Misal, invers fungsi sinus dapat dinyatakan dengan \(\arcsin x\).

Berikut adalah notasi atau penulisan dari fungsi invers trigonometri dan pembatasan domain atau daerah asalnya.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan dari fungsi invers trigonometri. Kita berikan hasil yang telah kita dapatkan berikut.

Kita akan membuktikan hasil dari turunan invers trigonometri di atas.

Turunan Invers Sinus

Misalkan kita mempunyai fungsi invers sinus yaitu \( y = \arcsin x \) atau \( y = \sin^{-1} x \) dan kita ingin mencari turunan pertama dari fungsi invers ini. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} y &= \sin^{-1} x \Leftrightarrow \ x = \sin y \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= \cos y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{\cos^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} \\[8pt] &= \frac{1}{\sqrt{1-(\sin y)^2}} \\[8pt] &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \neq \pm 1 \end{aligned}

Jadi, turunan pertama dari \( y = \arcsin x \) atau \( y = \sin^{-1} x \) adalah .

\[ \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1} x \right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \neq \pm 1 \]

Turunan Invers Cosinus

Misalkan kita mempunyai fungsi invers cosinus yaitu \( y = \arccos x \) atau \( y = \cos^{-1} x \) dan kita ingin mencari turunan pertama dari fungsi invers ini. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} y &= \cos^{-1} x \Leftrightarrow \ x = \cos y \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= -\sin y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y} \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\sqrt{\sin^2 y}} = -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 y}} \\[8pt] &= -\frac{1}{\sqrt{1-(\cos y)^2}} \\[8pt] &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \neq \pm 1 \end{aligned}

Jadi, turunan pertama dari \( y = \arccos x \) atau \( y = \cos^{-1} x \) adalah

\[ \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} x \right) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \neq \pm 1 \]

Turunan Invers Tangen

Misalkan kita mempunyai fungsi invers tangen yaitu \( y = \arctan x \) atau \( y = \tan^{-1} x \) dan kita ingin mencari turunan pertama dari fungsi invers ini. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} y &= \tan^{-1} x \Leftrightarrow \ x = \tan y \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= \sec^2 y \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \tan^2 y + 1 \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= x^2 + 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1}, \quad -\infty < x < \infty \end{aligned}

Jadi, turunan pertama dari \( y = \arctan x \) atau \( y = \tan^{-1} x \) adalah

\[ \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} x \right) = \frac{1}{x^2 + 1}, \quad -\infty < x < \infty \]

Turunan Invers Cotangen

Misalkan kita mempunyai fungsi invers cotangen yaitu \( y = \text{arccot} \ x \) atau \( y = \cot^{-1} x \) dan kita ingin mencari turunan pertama dari fungsi invers ini. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} y &= \cot^{-1} x \Leftrightarrow \ x = \cot y \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= -\csc^2 y \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -(\cot^2 y + 1) \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= -(x^2 + 1) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2 + 1}, \quad -\infty < x < \infty \end{aligned}

Jadi, turunan pertama dari \( y = \text{arccot} \ x \) atau \( y = \cot^{-1} x \) adalah

\[ \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1} x \right) = -\frac{1}{x^2 + 1}, \quad -\infty < x < \infty \]

Turunan Invers Cosecan

Misalkan kita mempunyai fungsi invers cosecan yaitu \( y = \text{arccsc} \ x \) atau \( y = \csc^{-1} x \) dan kita ingin mencari turunan pertama dari fungsi invers ini. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} y &= \csc^{-1} x \Leftrightarrow \ x = \csc y \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= -\csc y \cot y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc y \cot y} \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\csc y \ \sqrt{\cot^2 y} } \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc y \ \sqrt{\csc^2 y - 1} } \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1} }, \quad x \neq \pm 1, 0 \end{aligned}

Jadi, turunan pertama dari \( y = \text{arccsc} \ x \) atau \( y = \csc^{-1} x \) adalah

\[ \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1} x \right) = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1} }, \quad x \neq \pm 1, 0 \]

Perhatikan bahwa di sini kita menuliskan tanda mutlak pada \(x\) karena jika kita amati grafik dari fungsi \( \csc^{-1} x \), kemiringan garis singgung dari kurvanya selalu negatif. Jadi turunan dari fungsi \( \csc^{-1} x \) harusnya selalu negatif terlepas dari tanda \(x\). Itulah mengapa kita selalu menuliskan tanda mutlak pada \(x\) di sini.

Turunan Invers Secan

Misalkan kita mempunyai fungsi invers secan yaitu \( y = \text{arcsec} \ x \) atau \( y = \sec^{-1} x \) dan kita ingin mencari turunan pertama dari fungsi invers ini. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} y &= \sec^{-1} x \Leftrightarrow \ x = \sec y \\[8pt] \frac{dx}{dy} &= \sec x \tan y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec y \tan y} \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sec y \ \sqrt{\tan^2 y} } \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec y \ \sqrt{\sec^2 y - 1} } \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1} }, \quad x \neq \pm 1, 0 \end{aligned}

Jadi, turunan pertama dari \( y = \text{arcsec} \ x \) atau \( y = \sec^{-1} x \) adalah

\[ \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1} x \right) = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1} }, \quad x \neq \pm 1, 0 \]

Di sini kita juga menggunakan tanda mutlak pada \(x\) karena grafik dari fungsi \( \sec^{-1} x \) selalu mempunyai garis singgung dengan kemiringan positif dan karena itu turunannya seharusnya tidak dipengaruhi oleh tanda \(x\).

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Kalkulus I » Turunan Fungsi › Turunan Fungsi Invers Trigonometri