www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Persamaan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak Matematika SMA
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak Matematika SMA


Dalam ilmu matematika, kita mengenal istilah nilai mutlak atau harga mutlak (absolute value). Materi mengenai nilai mutlak telah kita bahas secara rinci di artikel lain sehingga tidak akan dibahas lagi di sini. Pada artikel ini kita akan mempelajari dan memahami cara menyelesaikan suatu persamaan nilai mutlak. Persamaan nilai mutlak adalah persamaan matematika yang mengandung fungsi nilai mutlak dan biasanya kita diminta untuk mencari himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut.

Sejumlah contoh soal terkait persamaan nilai mutlak telah disiapkan di sini sebagai latihan untuk mengasah kemampuan kamu dalam menyelesaikan suatu persamaan nilai mutlak. Namun, sebelum masuk ke contoh soal dan pembahasannya, sebaiknya kamu pahami dulu definisi dan sifat-sifat nilai mutlak berikut ini agar kamu semakin paham dan lancar mengerjakan soal persamaan nilai mutlak.

Definisi & Sifat-sifat Nilai Mutlak

Dari sudut pandang ilmu geometri, nilai atau harga mutlak dapat diartikan sebagai jarak yang ditempuh tanpa memerhatikan arah. Dalam hal ini, nilai mutlak dari suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif, tetapi bisa bernilai nol. Berikut diberikan definisi nilai mutlak:

Definisi: Nilai Mutlak

Untuk \(a\) bilangan real, maka nilai mutlak \(a\) (\(|a|\)) didefinisikan sebagai berikut:

\[ |a| = \begin{cases} a, &\quad \text{untuk} \ a \geq 0 \\[1em] -a, &\quad \text{untuk} \ a < 0 \end{cases} \]

Selain definisi nilai mutlak di atas, beberapa sifat nilai mutlak berikut juga penting untuk kamu pahami:

  • Untuk \(a\) bilangan real, \( |a|=\sqrt{a^2} \)
  • Untuk \(a,b\) bilangan real, \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \)
  • Untuk \(a,b\) bilangan real, \( \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}, \ b \neq 0 \)

Setelah memahami penjelasan di atas, kamu bisa mengerjakan contoh soal persamaan nilai mutlak yang disajikan berikut ini.

Contoh 1:

Banyaknya bilangan real \(x\) yang memenuhi persamaan \( |x^2-4|=x+|x-2| \) adalah…

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( |x^2-4|=x+|x-2| \) di mana persamaan ini ekuivalen dengan \( |x-2| \cdot |x+2| = x + |x-2|\). Selanjutnya, dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh:

\begin{aligned} |x-2| &= \begin{cases} x-2, &\quad \text{jika} \ x \geq 2 \\[1em] -x+2, &\quad \text{jika} \ x < 2 \end{cases} \\[8pt] |x+2| &= \begin{cases} x+2, &\quad \text{jika} \ x \geq -2 \\[1em] -x-2, &\quad \text{jika} \ x < -2 \end{cases} \end{aligned}

Dari hasil di atas, ada tiga kasus. Kasus 1: Untuk \(x < -2\), maka persamaan \( |x-2| \cdot |x+2| = x + |x-2| \) dapat ditulis menjadi

\begin{aligned} (-x+2)(-x-2) &= x+(-x+2) \\[8pt] x^2+2x-2x-4 &= 2 \\[8pt] x^2 &= 6 \\[8pt] x &= \pm \sqrt{6} \end{aligned}

Dari kasus 1 di atas, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x=-\sqrt{6}\) karena memenuhi syarat \(x < -2\).

Kasus 2: Untuk \( -2 \leq x < 2 \) maka persamaan \( |x-2| \cdot |x+2| = x + |x-2| \) dapat ditulis menjadi:

\begin{aligned} (-x+2)(x+2) &= x+(-x+2) \\[8pt] -x^2-2x+2x+4 &= 2 \\[8pt] -x^2 &= -2 \\[8pt] x^2 &= 2 \\[8pt] x &= \pm \sqrt{2} \end{aligned}

Nilai \( x = \pm \sqrt{2} \) memenuhi syarat \( -2 \leq x < 2 \).

Kasus 3: Untuk \(x \geq 2\), maka persamaan \( |x-2| \cdot |x+2| = x + |x-2| \) dapat ditulis menjadi:

\begin{aligned} (x-2)(x+2) &= x+(x-2) \\[8pt] x^2+2x-2x-4 &= 2x-2 \\[8pt] x^2-2x-2 &= 0 \end{aligned}

Dengan menggunakan rumus ABC, diperoleh:

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[8pt] &= \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}{2 (1)} \\[8pt] &= \frac{2 \pm \sqrt{12} }{2} \\[8pt] &= \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= 1 \pm \sqrt{3} \end{aligned}

Nilai \(x\) yang memenuhi yaitu \( x = 1 + \sqrt{3} \) karena memenuhi syarat \(x \geq 2\).

Jadi, ada 4 bilangan real yang memenuhi persamaan nilai mutlak yang diberikan dalam soal ini.

Jawaban E.

Contoh 2:

Jumlah dari semua kemungkinan penyelesaian persamaan \( x = |3x-|35-3x|| \) adalah…

  1. 12
  2. 35
  3. 40
  4. 42
  5. 47

Pembahasan:

Perhatikan bentuk nilai mutlak yang paling “dalam”, yaitu \( |35-3x| \), yang mana sesuai definisi nilai mutlak, diperoleh:

\begin{aligned} |35-3x| &= \begin{cases} 35-3x, &\quad \text{jika} \ x \leq \frac{35}{3} \\[1em] -35+3x, &\quad \text{jika} \ x > \frac{35}{3} \end{cases} \end{aligned}

Sekarang ada dua kasus berdasarkan hasil di atas. Untuk \( x \leq \frac{35}{3} \), maka persamaan nilai mutlak dalam soal menjadi:

\begin{aligned} x &= |3x-(35-3x)| \\[8pt] x &= |6x-35| \\[8pt] x &= (6x-35) \ \text{atau} \ x = -6x+35 \\[8pt] 5x &= 35 \ \text{atau} \ 7x = 35 \\[8pt] x &= 7 \ \text{atau} \ x = 5 \end{aligned}

Kedua nilai \(x\) ini memenuhi syarat \( x \leq \frac{35}{3} \).

Selanjutnya, untuk \( x > \frac{35}{3} \), maka persamaan nilai mutlak dalam soal menjadi:

\begin{aligned} x &= |3x-(-35+3x)| \\[8pt] x &= |35| = 35 \end{aligned}

Nilai \(x\) ini memenuhi syarat \( x > \frac{35}{3} \).

Dengan demikian, jumlah semua kemungkinan penyelesaian persamaan nilai mutlak dalam soal ini yaitu \( 7+5+35 = 47 \).

Jawaban E.

Contoh 3:

Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \( |3x+2|+4x=6 \) adalah…

  1. \( x = \frac{4}{7} \) atau \(x=8\)
  2. \(x=\frac{4}{7}\) atau \(x=-8\)
  3. \( x = -\frac{4}{7} \) atau \(x=9\)
  4. \( x = \frac{4}{7} \)
  5. \( x = 8 \)

Pembahasan:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} |3x+2| &= \begin{cases} 3x+2, &\quad \text{jika} \ x \geq -\frac{2}{3} \\[1em] -3x-2, &\quad \text{jika} \ x < -\frac{2}{3} \end{cases} \end{aligned}

Untuk \( x \geq -\frac{2}{3} \) diperoleh:

\begin{aligned} |3x+2|+4x &= 6 \\[8pt] (3x+2)+4x &= 6 \\[8pt] 7x &= 4 \\[8pt] x &= \frac{4}{7} \end{aligned}

Nilai \(x\) ini memenuhi syarat \( x \geq -\frac{2}{3} \).

Selanjutnya, untuk \( x < -\frac{2}{3} \), persamaan nilai mutlak dalam soal menjadi:

\begin{aligned} |3x+2|+4x &= 6 \\[8pt] (-3x-2)+4x &= 6 \\[8pt] x &= 8 \end{aligned}

Nilai \(x = 8 \) tidak memenuhi syarat \( x < -\frac{2}{3} \) sehingga tidak memenuhi persamaan \( |3x+2|+4x = 6 \).

Dengan demikian, nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \( |3x+2|+4x = 6 \) adalah \( x = \frac{4}{7} \).

Jawaban D.

Contoh 4:

Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \( |2x+3|^2 = 5|2x+3|+14 \) adalah…

  1. \( \{ 2,5 \} \)
  2. \( \{ -5,2 \} \)
  3. \( \{ 2,-7 \} \)
  4. \( \{ -2,-5 \} \)
  5. \( \{ -2,7 \} \)

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini kita bisa melakukan pemisalan terlebih dahulu, yakni misalkan \( |2x+3| = p \) sehingga kita dapatkan berikut ini:

\begin{aligned} |2x+3|^2 &= 5|2x+3|+14 \\[8pt] p^2 &= 5p+14 \\[8pt] p^2-5p-14 &= 0 \\[8pt] (p+2)(p-7) &= 0 \\[8pt] p = -2 \ &\text{atau} \ p=7 \end{aligned}

Perhatikan bahwa dari pemisalan \( |2x+3| = p \) kita tahu bahwa nilai \(p\) selalu bernilai positif atau \( p\geq 0 \) sehingga untuk \( p=-2 \) tidak memenuhi dan nilai \(p\) yang kita pakai yaitu \( p = 7 \).

Dari hasil pemisalan di atas dan dengan memanfaatkan sifat nilai mutlak, sekarang kita dapat selesaikan persamaan nilai mutlak dalam soal ini sebagai berikut:

Untuk \( 2x+3 \geq 0 \), maka

\begin{aligned} 2x+3 &= 7 \\[8pt] 2x &= 4 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}

Untuk \( 2x+3 < 0 \), maka

\begin{aligned} -(2x+3) &= 7 \\[8pt] 2x+3 &= -7 \\[8pt] 2x &= -10 \\[8pt] x &= -5 \end{aligned}

Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \( x=2 \) atau \(x=-5\).

Selain dengan cara di atas, kita juga bisa selesaikan persamaan nilai mutlak di atas sebagai berikut:

\begin{aligned} |2x+3| &= 7 \\[8pt] \sqrt{(2x+3)^2} &= 7 \\[8pt] (2x+3)^2 &= 7^2 \\[8pt] (2x+3)^2-7^2 &= 0 \\[8pt] ((2x+3)-7)((2x+3)+7) &= 0 \\[8pt] (2x-4)(2x+10) &= 0 \\[8pt] x = 2 \ \text{atau} \ x &= -5 \end{aligned}

Perhatikan bahwa dari kedua cara di atas, kita peroleh hasil yang sama yakni nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x=2\) atau \(x=-5\).

Jawaban B.

Contoh 5:

Himpunan penyelesaian \( |x-7|-|x-2| = 3 \) adalah…

  1. \( \{ -6 \} \)
  2. \( \{ -3 \} \)
  3. \( \{ 3 \} \)
  4. \( \{ -6,-3 \} \)
  5. \( \{ -6,3 \} \)

Pembahasan:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita peroleh:

\begin{aligned} |x-7| &= \begin{cases} x-7, &\quad \text{jika} \ x \geq 7 \\[1em] -(x-7), &\quad \text{jika} \ x < 7 \end{cases} \\[8pt] |x-2| &= \begin{cases} x-2, &\quad \text{jika} \ x \geq 2 \\[1em] -(x-2), &\quad \text{jika} \ x < 2 \end{cases} \end{aligned}

Dari hasil di atas, ada tiga kemungkinan. Kemungkinan 1: Untuk \(x \geq 7\) diperoleh:

\begin{aligned} |x-7|-|x-2| &= 3 \\[8pt] (x-7)-(x-2) &= 3 \\[8pt] -5 &= 3 \\[8pt] \end{aligned}

Dari hasil di atas, tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi.

Kemungkinan 2: Untuk \( 2 \leq x < 7 \), diperoleh:

\begin{aligned} |x-7|-|x-2| &= 3 \\[8pt] (-x+7)-(x-2) &= 3 \\[8pt] -2x+9 &= 3 \\[8pt] -2x &= -6 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}

Nilai \(x=3\) memenuhi syarat \( 2 \leq x < 7 \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Kemungkinan 3: Untuk \(x < 2\), diperoleh

\begin{aligned} |x-7|-|x-2| &= 3 \\[8pt] (-x+7)-(-x+2) &= 3 \\[8pt] 5 &= 3 \end{aligned}

Dari kemungkinan 3 di atas, tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari \( |x-7|-|x-2| = 3 \) adalah 3.

Jawaban C.

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian dari \( |5x-6|-4 = 10 \) adalah…

  1. \( \{ 4, 1 \frac{3}{5} \} \)
  2. \( \{ 4, -1 \frac{3}{5} \} \)
  3. \( \{-1 \frac{3}{5} \} \)
  4. \( \{ 2 \} \)
  5. \( \{ 4 \} \)

Pembahasan:

Persamaan nilai mutlak yang diberikan dalam soal ini bisa disederhanakan menjadi \( |5x-6|=14 \), kemudian dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh:

\begin{aligned} |5x-6| &= \begin{cases} 5x-6, &\quad \text{jika} \ x \geq \frac{6}{5} \\[1em] -(5x-6), &\quad \text{jika} \ x < \frac{6}{5} \end{cases} \end{aligned}

Untuk \( x \geq \frac{6}{5} \), diperoleh:

\begin{aligned} |5x-6| &= 14 \\[8pt] 5x-6 &= 14 \\[8pt] 5x &= 20 \\[8pt] x &= 4 \end{aligned}

Nilai \(x = 4\) memenuhi syarat \( x \geq \frac{6}{5} \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( x < \frac{6}{5} \), diperoleh

\begin{aligned} |5x-6| &= 14 \\[8pt] -(5x-6) &= 14 \\[8pt] 5x-6 &= -14 \\[8pt] 5x &= -8 \\[8pt] x &= -\frac{8}{5} = -1 \frac{3}{5} \end{aligned}

Nilai \(x = -1 \frac{3}{5}\) memenuhi syarat \( x < \frac{6}{5} \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Dengan demikian himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak \( |5x-6|-4 = 10 \) yaitu \( \{ 4, -1 \frac{3}{5} \} \).

Jawaban B.

Contoh 7:

Himpunan penyelesaian dari \(|2x+3|=9\) adalah…

  1. \( \{ -6,3 \} \)
  2. \( \{ -3,3 \} \)
  3. \( \{ -3,6 \} \)
  4. \( \{ 2,3 \} \)
  5. \( \{ -3,2 \} \)

Pembahasan:

Sesuai definisi nilai mutlak, diperoleh:

\begin{aligned} |2x+3| &= \begin{cases} 2x+3, &\quad \text{jika} \ x \geq -\frac{3}{2} \\[1em] -(2x+3), &\quad \text{jika} \ x < -\frac{3}{2} \end{cases} \end{aligned}

Untuk \( x \geq -\frac{3}{2} \), diperoleh:

\begin{aligned} |2x+3| &= 9 \\[8pt] 2x+3 &= 9 \\[8pt] 2x &= 6 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}

Nilai \(x=3\) memenuhi syarat \( x \geq -\frac{3}{2} \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( x < -\frac{3}{2} \), diperoleh:

\begin{aligned} |2x+3| &= 9 \\[8pt] -(2x+3) &= 9 \\[8pt] 2x+3 &= -9 \\[8pt] 2x &= -12 \\[8pt] x &= -6 \end{aligned}

Nilai \(x=-6\) memenuhi syarat \( x < -\frac{3}{2} \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak \( |2x+3| = 9 \) adalah \( \{ -6,3 \} \).

Jawaban A.

Contoh 8:

Jika \(|x+1|+2x=7\), maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah…

  1. \( \{ 2,8 \} \)
  2. \( \{ -2,8 \} \)
  3. \( \{ 2,-8 \} \)
  4. \( \{ 2 \} \)
  5. \( \{ 8 \} \)

Pembahasan:

Sesuai definisi nilai mutlak, diperoleh:

\begin{aligned} |x+1| &= \begin{cases} x+1, &\quad \text{jika} \ x \geq -1 \\[1em] -(x+1), &\quad \text{jika} \ x < -1 \end{cases} \end{aligned}

Untuk \( x \geq -1 \), diperoleh:

\begin{aligned} |x+1|+2x &= 7 \\[8pt] (x+1)+2x &= 7 \\[8pt] 3x &= 6 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}

Nilai \(x=2\) memenuhi syarat \( x \geq -1 \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( x < -1 \), diperoleh:

\begin{aligned} |x+1|+2x &= 7 \\[8pt] -(x+1)+2x &= 7 \\[8pt] x &= 8 \end{aligned}

Nilai \(x=8\) tidak memenuhi syarat \( x < -1 \) sehingga bukan merupakan himpunan penyelesaian.

Dengan demikian, nilai \(x\) yang memenuhi persamaan nilai mutlak \( |x+1|+2x=7 \) adalah 2.

Jawaban D.

Contoh 9:

Nilai \(x\) yang memenuhi \( |x^2-8x+14|=2 \) adalah…

  1. \( \{ 2,4,9 \} \)
  2. \( \{ 4,6,9 \} \)
  3. \( \{ 2,5,6 \} \)
  4. \( \{ 2,4,6 \} \)
  5. \( \{ 2,5,6 \} \)

Pembahasan:

Sesuai definisi nilai mutlak, untuk \( x^2-8x+14 \geq 0 \), kita peroleh:

\begin{aligned} x^2-8x+14 &= 2 \\[8pt] x^2-8x+12 &= 0 \\[8pt] (x-2)(x-6) &= 0 \\[8pt] x = 2 \ &\text{atau} \ x = 6 \end{aligned}

Nilai \(x=2\) atau \(x=6\) memenuhi syarat sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Selanjutnya, untuk \( x^2-8x+14 < 0 \) diperoleh:

\begin{aligned} -(x^2-8x+14) &= 2 \\[8pt] x^2-8x+14 &= -2 \\[8pt] x^2-8x+16 &= 0 \\[8pt] (x-4)(x-4) &= 0 \\[8pt] x &= 4 \end{aligned}

Nilai \(x=4\) memenuhi syarat sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Selain dengan cara di atas, kita juga bisa menyelesaiakan persamaan nilai mutlak dalam soal ini sebagai berikut:

\begin{aligned} |x^2-8x+14| &= 2 \\[8pt] \sqrt{(x^2-8x+14)^2} &= 2 \\[8pt] (x^2-8x+14)^2 &= 2^2 \\[8pt] (x^2-8x+14)^2 - 2^2 &= 0 \\[8pt] ((x^2-8x+14)+2)((x^2-8x+14)-2) &= 0 \\[8pt] (x^2-8x+16)(x^2-8x+12) &= 0 \\[8pt] (x-4)(x-4)(x-2)(x-6) &= 0 \\[8pt] x = 4, \ x = 2, \ \text{atau} \ x &= 6 \end{aligned}

Nilai \(x\) yang diperoleh sama dengan cara pertama di atas yaitu \( x = 2, \ x = 4, \ \text{atau} \ x = 6 \).

Dengan demikian, nilai \(x\) yang memenuhi persamaan nilai mutlak \( |x^2-8x+14|=2 \) adalah \( \{ 2,4,6 \} \).

Jawaban D.

Contoh 10:

Nilai \(x\) yang memenuhi \( |2x+5|=14-x \) adalah…

  1. \( \{ 3,19 \} \)
  2. \( \{ -19,3 \} \)
  3. \( \{ 3 \} \)
  4. \( \{ 19 \} \)
  5. \( \{ -3,19 \} \)

Pembahasan:

Sesuai dengan definisi nilai mutlak, kita peroleh

\begin{aligned} |2x+5| &= \begin{cases} 2x+5, &\quad \text{jika} \ x \geq -\frac{5}{2} \\[1em] -(2x+5), &\quad \text{jika} \ x < -\frac{5}{2} \end{cases} \end{aligned}

Untuk \(x \geq -\frac{5}{2}\), diperoleh:

\begin{aligned} 2x+5 &= 14-x \\[8pt] 2x+x &= 14-5 \\[8pt] 3x &= 9 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}

Nilai \(x=3\) memenuhi syarat \(x \geq -\frac{5}{2}\) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( x < -\frac{5}{2} \), diperoleh

\begin{aligned} -(2x+5) &= 14-x \\[8pt] -2x-5 &= 14-x \\[8pt] -2x+x &= 14+5 \\[8pt] -x &= 19 \\[8pt] x &= -19 \end{aligned}

Nilai \(x=-19\) memenuhi syarat \( x < -\frac{5}{2} \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Dengan cara lain, kita peroleh:

\begin{aligned} |2x+5| &= 14-x \\[8pt] \sqrt{(2x+5)^2} &= 14-x \\[8pt] (2x+5)^2 &= (14-x)^2 \\[8pt] 4x^2+20x+25 &= 196-28x+x^2 \\[8pt] 3x^2+48x-171 &= 0 \\[8pt] x^2+16x-57 &= 0 \\[8pt] (x-3)(x+19) &= 0 \\[8pt] x = 3 \ \text{atau} \ x &= -19 \end{aligned}

Pada cara ini, nilai \(x\) harus diperiksa ke soal, yakni:

\begin{aligned} \text{untuk} \ x = 3 \Leftrightarrow |2x+5| &= 14-x \\[8pt] |2(3)+5| &= 14-3 \\[8pt] |11| &= 11 \Rightarrow \text{benar} \\[8pt] \text{untuk} \ x = -19 \Leftrightarrow |2x+5| &= 14-x \\[8pt] |2(-19)+5| &= 14-(-19) \\[8pt] |-33| &= 33 \Rightarrow \text{benar} \end{aligned}

Nilai \(x\) yang kita peroleh dengan cara kedua ini sama dengan menggunakan cara pertama.

Jawaban D.

Contoh 11:

Penyelesaian persamaan \( |6-x|=|2x+3| \) adalah…

  1. 9 atau 1
  2. -1 atau 3
  3. -1 atau 9
  4. -9 atau 1
  5. -9 atau -1

Pembahasan:

Ada dua nilai mutlak dalam soal ini yaitu \( |6-x| \) dan \( |2x+3| \) sehingga sesuai definisi nilai mutlak, diperoleh:

\begin{aligned} |6-x| &= \begin{cases} 6-x, &\quad \text{jika} \ x \leq 6 \\[1em] -(6-x), &\quad \text{jika} \ x > 6 \end{cases} \\[8pt] |2x+3| &= \begin{cases} 2x+3, &\quad \text{jika} \ x \geq -\frac{3}{2} \\[1em] -(2x+3), &\quad \text{jika} \ x < -\frac{3}{2} \end{cases} \end{aligned}

Dari definisi nilai mutlak di atas, syarat penyelesaian dapat digambarkan menggunakan garis bilangan berikut ini.

persamaan nilai mutlak

Berdasarkan garis bilangan di atas, terdapat 3 kasus atau kemungkinan penyelesaian yaitu dengan syarat \( x < -\frac{3}{2}, \ -\frac{3}{2} \leq x \leq 6 \) dan \( x > 6 \).

Untuk \( x < -\frac{3}{2} \), diperoleh hasil sebagai berikut:

\begin{aligned} |6-x| &= |2x+3| \\[8pt] (6-x) &= -(2x+3) \\[8pt] -x+2x &= -3-6 \\[8pt] x &= -9 \end{aligned}

Nilai \(x = -9\) memenuhi syarat \(x < -\frac{3}{2} \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( -\frac{3}{2} \leq x \leq 6 \), diperoleh:

\begin{aligned} |6-x| &= |2x+3| \\[8pt] 6-x &= 2x+3 \\[8pt] -x-2x &= 3-6 \\[8pt] -3x &= -3 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}

Nilai \(x = 1\) memenuhi syarat \( -\frac{3}{2} \leq x \leq 6 \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( x > 6 \), diperoleh:

\begin{aligned} |6-x| &= |2x+3| \\[8pt] -(6-x) &= 2x+3 \\[8pt] x-2x &= 3+6 \\[8pt] -x &= 9 \\[8pt] x &= -9 \end{aligned}

Nilai \(x = -9\) tidak memenuhi syarat \(x > 6\). Namun, \(x=-9\) memenuhi syarat pada kemungkinan pertama di atas sehingga tetap merupakan himpunan penyelesaian.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak \( |6-x|=|2x+3| \) adalah -9 atau 1.

Jawaban D.

Contoh 12:

Nilai \(x\) yang memenuhi \( |3x-9| = |1-2x|+1 \) adalah…

  1. 9/5 atau 9
  2. 9/5 atau 8
  3. 9/5 atau 2
  4. 2 atau 9
  5. 2 atau 8

Pembahasan:

Ada dua nilai mutlak yaitu \( |3x-9| \) dan \( |1-2x| \) sehingga sesuai definisi nilai mutlak diperoleh:

\begin{aligned} |3x-9| &= \begin{cases} 3x-9, &\quad \text{jika} \ x \geq 3 \\[1em] -(3x-9), &\quad \text{jika} \ x < 3 \end{cases} \\[8pt] |1-2x| &= \begin{cases} 1-2x, &\quad \text{jika} \ x \leq \frac{1}{2} \\[1em] -(1-2x), &\quad \text{jika} \ x > \frac{1}{2} \end{cases} \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita buat garis bilangannya sebagai berikut:

persamaan nilai mutlak

Berdasarkan garis bilangan di atas, terdapat 3 kemungkinan penyelesaian yaitu dengan syarat \( x \leq \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2} < x < 3 \) dan \( x \geq 3 \).

Untuk \( x \leq \frac{1}{2} \), diperoleh:

\begin{aligned} |3x-9| &= |1-2x|+1 \\[8pt] -(3x-9) &= (1-2x) + 1 \\[8pt] -3x+9 &= -2x+2 \\[8pt] -3x+2x &= 2-9 \\[8pt] -x &= -7 \\[8pt] x &= 7 \end{aligned}

Nilai \(x = 7\) tidak memenuhi syarat \(x \leq \frac{1}{2} \) sehingga bukan merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \(\frac{1}{2} < x < 3\), diperoleh:

\begin{aligned} |3x-9| &= |1-2x|+1 \\[8pt] -(3x-9) &= -(1-2x) + 1 \\[8pt] -3x+9 &= 2x \\[8pt] -3x-2x &= -9 \\[8pt] -5x &= -9 \\[8pt] x &= \frac{9}{5} \end{aligned}

Nilai \( x = \frac{9}{5} \) memenuhi syarat \( \frac{1}{2} < x < 3 \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Untuk \( x \geq 3 \), diperoleh:

\begin{aligned} |3x-9| &= |1-2x|+1 \\[8pt] 3x-9 &= -(1-2x) + 1 \\[8pt] 3x-9 &= 2x \\[8pt] 3x-2x &= 9 \\[8pt] x &= 9 \end{aligned}

Nilai \(x = 9\) memenuhi syarat \( x \geq 3 \) sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi persamaan nilai mutlak \( |3x-9| = |1-2x|+1 \) adalah \( 9/5 \) atau 9.

Jawaban A.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait

You don’t learn to walk by following rules. You learn by doing, and by falling over.

Richard Branson