Contoh 1:

Jika \(a\) dan \(b\) bilangan bulat positif yang memenuhi \( a^b = 2^{20}-2^{19} \), maka nilai \(a+b = \cdots\)

1. 3
2. 7
3. 19
4. 21
5. 23

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, diperoleh:

Dari sini, kita peroleh \(a=2\) dan \(b=9\) sehingga \( a+b=2+19 = 21 \).

Jawaban D.

Contoh 2:

Persamaan \( 64^x + 2^{x+6} = 2^{x+7} \) berlaku untuk \(x= \cdots\)

1. \( \frac{7}{6} \)
2. \( \frac{6}{5} \)
3. \( \frac{5}{4} \)
4. \( \frac{4}{3} \)
5. \( \frac{2}{3} \)

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, diperoleh:

Jadi, persamaan eksponen dalam soal ini berlaku untuk \( x = \frac{6}{5} \).

Jawaban B.

Contoh 3:

Diketahui perssamaan \( 25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x = 5^{2.021} \). Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah…

1. 1.008
2. 1.010
3. 1.012
4. 2.018
5. 2.020

Pembahasan:

Gunakan sifat-sifat perpangkatan untuk menyelesaikan soal ini.

Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah \(1.010\).

Jawaban B.

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian dari \( (2x-3)^{x+1} = 1 \) adalah \( \{ x_1, x_2, x_3 \} \). Nilai dari \( x_1 + x_2 + x_3 \) adalah….

1. -1
2. 0
3. 1
4. 2
5. 4

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)} = 1 \) dengan \( f(x) = 2x-3 \) dan \( g(x)=x+1 \). Berdasarkan persamaan tersebut, terdapat 3 kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.

Kemungkinan 1: \( f(x)=1 \), maka

Kemungkinan 2: \( f(x)=-1 \) asalkan \( g(x) \) genap, maka

Selanjutnya, substitusi \(x=1\) pada \( g(x)=x+1 \) menghasilkan \( g(1)=1+1=2 \). Karena \(g(x)\) hasilnya genap, maka nilai \(x=1\) memenuhi.

Kemungkinan 3: \( g(x)=0 \) asalkan \( f(x) \) bukan nol, maka

Substitusi \(x=-1\) pada \( f(x)=2x-3 \) menghasilkan \( f(-1)=2(-1)-3=-5 \). Karena \(f(x)\) hasilnya bukan nol, maka nilai \(x=-1\) memenuhi.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah \( \{ -1,1,2 \} \) sehingga \( x_1+x_2+x_3 = -1+1+2 = 2 \).

Jawaban D.

Contoh 5:

Jumlah semua nilai real \(x\) positif yang memenuhi persamaan \( x^{x^2-5x+6} = 1 \) adalah…

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7
5. 9

Pembahasan:

Persamaan dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)} = 1 \) dengan \( f(x) = x \) dan \( g(x) = x^2-5x+6 \). Berdasarkan persamaan eksponen tersebut, terdapat 3 kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.

Kemungkinan 1: \( f(x) = 1 \Rightarrow x = 1 \).

Kemungkinan 2: \( f(x)=-1 \Rightarrow x = -1 \). Substitusi \(x=-1\) pada \( g(x) = x^2-5x+6 \) menghasilkan \( g(-1)=(-1)^2-5(-1)+6=12 \). Karena \( g(x) \) hasilnya genap, maka nilai \(x=-1\) memenuhi.

Kemungkinan 3: \(g(x)=0 \) sehingga:

Kedua nilai \(x\) ini tidak membuat \( f(x) =x \) bernilai nol sehingga memenuhi persamaan.

Jadi, kita peroleh 4 nilai \(x\), yakni \( \{ -1,1,2,3 \} \). Untuk itu, jumlah semua nilai real \(x\) positif sama dengan \( 1+2+3=6 \).

Jawaban C.

Contoh 6:

Jika \(x\) memenuhi persamaan \( 3^{x+2} – 3^x = 32 \), maka nilai \( \frac{45^x}{5^{x-1}} = \cdots \)

1. 9
2. 20
3. 45
4. 60
5. 80

Pembahasan:

Sederhanakan \( 3^{x+2} – 3^x = 32 \) terlebih dahulu, yakni:

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

Jawaban E.

Contoh 7:

Jika \(\alpha\) dan \( \beta \) menyatakan akar-akar persamaan \( 3^{2x}-36\cdot 3^x + 243 = 0 \), maka \( |\alpha - \beta| = \cdots \)

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa memisalkan \( 3^x = p \), kemudian selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh, yakni:

Karena \(\alpha\) dan \( \beta \) merupakan akar-akar persamaannya, maka \(\alpha = 2 \) dan \( \beta = 3 \) atau sebaliknya. Dengan demikian, \( |\alpha - \beta| = |2-3|=1 \).

Jawaban A.

Contoh 8:

Jika anggota himpunan penyelesaian dari persamaan \( (x+1)^{x^2+7x+10} = (2x+3)^{x^2+7x+10} \) dijumlahkan, hasilnya adalah…

1. 7
2. 4
3. -4
4. -7
5. -11

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)}=h(x)^{g(x)} \) di mana:

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen ini, ada dua kemungkinan.

Kemungkinan 1: \( f(x) = h(x) \).

Kemungkinan 2: \( g(x)=0 \), asalkan \( f(x) \neq 0 \) dan \( g(x) \neq 0 \).

Nilai \(x=-5\) dan \(x=-2\) memenuhi syarat sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, anggota himpunan penyelesaiannya yaitu \( \{ -5,-2 \} \) sehingga jika dijumlahkan hasilnya \( -5+(-2) = -7 \).

Jawaban D.

Contoh 9:

Jika \( (3x+2)^{x^2+2x-15} = 1 \), maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah…

1. \( \{ 5, -\frac{1}{3}, 3 \} \)
2. \( \{ 5, \frac{1}{3} \} \)
3. \( \{ \frac{1}{3}, 3 \} \)
4. \( \{ -5, -1, -\frac{1}{3}, 3 \} \)
5. \( \{ -5, \frac{1}{3}, 3 \} \)

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)}=1 \) di mana \( f(x) = 3x+2 \) dan \( g(x)=x^2+2x-15 \). Untuk menyelesaikan persamaan eksponen ini, ada tiga kemungkinan yang perlu diselidiki.

Kemungkinan 1: Untuk \( f(x)=1 \) diperoleh

Kemungkinan 2: Untuk \( f(x)=-1 \), asalkan \(g(x)\) genap, diperoleh:

Kemungkinan 3: \( g(x)=0 \), asalkan \( f(x) \neq 0 \).

Dengan demikian, himpunan penyelesaian untuk persamaan eksponen \( (3x+2)^{x^2+2x-15} = 1 \) adalah \( \{ -5,-1,-\frac{1}{3},3 \} \).

Jawaban D.