www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Persamaan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Eksponen Matematika SMA
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Eksponen Matematika SMA


Flag Counter
Flag Counter
Contoh 1:

Jika \(a\) dan \(b\) bilangan bulat positif yang memenuhi \( a^b = 2^{20}-2^{19} \), maka nilai \(a+b = \cdots\)

  1. 3
  2. 7
  3. 19
  4. 21
  5. 23

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, diperoleh:

\begin{aligned} a^b &= 2^{20}-2^{19} \\[8pt] a^b &= 2^{19} \cdot 2 - 2^{19} \\[8pt] a^b &= 2^{19} \cdot (2-1) \\[8pt] a^b &= 2^{19} \end{aligned}

Dari sini, kita peroleh \(a=2\) dan \(b=9\) sehingga \( a+b=2+19 = 21 \).

Jawaban D.

Contoh 2:

Persamaan \( 64^x + 2^{x+6} = 2^{x+7} \) berlaku untuk \(x= \cdots\)

  1. \( \frac{7}{6} \)
  2. \( \frac{6}{5} \)
  3. \( \frac{5}{4} \)
  4. \( \frac{4}{3} \)
  5. \( \frac{2}{3} \)

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, diperoleh:

\begin{aligned} 64^x + 2^{x+6} &= 2^{x+7} \\[8pt] (2^6)^x &= 2^{x+7} - 2^{x+6} \\[8pt] 2^{6x} &= 2^{x+6} \cdot (2-1) \\[8pt] 2^{6x} &= 2^{x+6} \\[8pt] 6x &= x+6 \\[8pt] 5x &= 6 \\[8pt] x &= \frac{6}{5} \end{aligned}

Jadi, persamaan eksponen dalam soal ini berlaku untuk \( x = \frac{6}{5} \).

Jawaban B.

Contoh 3:

Diketahui perssamaan \( 25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x = 5^{2.021} \). Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah…

  1. 1.008
  2. 1.010
  3. 1.012
  4. 2.018
  5. 2.020

Pembahasan:

Gunakan sifat-sifat perpangkatan untuk menyelesaikan soal ini.

\begin{aligned} 25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x &= 5^{2.021} \\[8pt] 5 \cdot 25^x &= 5^{2.021} \\[8pt] 5^1 \cdot (5^2)^x &= 5^{2.021} \\[8pt] 5^{1+2x} &= 5^{2.021} \\[8pt] 1+2x &= 2.021 \\[8pt] 2x &= 2.020 \\[8pt] x &= 1.010 \end{aligned}

Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah \(1.010\).

Jawaban B.

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian dari \( (2x-3)^{x+1} = 1 \) adalah \( \{ x_1, x_2, x_3 \} \). Nilai dari \( x_1 + x_2 + x_3 \) adalah….

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
  5. 4

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)} = 1 \) dengan \( f(x) = 2x-3 \) dan \( g(x)=x+1 \). Berdasarkan persamaan tersebut, terdapat 3 kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.

Kemungkinan 1: \( f(x)=1 \), maka

\begin{aligned} f(x) = 1 \Leftrightarrow 2x-3 &= 1 \\[8pt] 2x &= 4 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}

Kemungkinan 2: \( f(x)=-1 \) asalkan \( g(x) \) genap, maka

\begin{aligned} f(x) = -1 \Leftrightarrow 2x-3 &= -1 \\[8pt] 2x &= 2 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}

Selanjutnya, substitusi \(x=1\) pada \( g(x)=x+1 \) menghasilkan \( g(1)=1+1=2 \). Karena \(g(x)\) hasilnya genap, maka nilai \(x=1\) memenuhi.

Kemungkinan 3: \( g(x)=0 \) asalkan \( f(x) \) bukan nol, maka

\begin{aligned} g(x) = 0 \Leftrightarrow x+1 &= 0 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned}

Substitusi \(x=-1\) pada \( f(x)=2x-3 \) menghasilkan \( f(-1)=2(-1)-3=-5 \). Karena \(f(x)\) hasilnya bukan nol, maka nilai \(x=-1\) memenuhi.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah \( \{ -1,1,2 \} \) sehingga \( x_1+x_2+x_3 = -1+1+2 = 2 \).

Jawaban D.

Contoh 5:

Jumlah semua nilai real \(x\) positif yang memenuhi persamaan \( x^{x^2-5x+6} = 1 \) adalah…

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
  5. 9

Pembahasan:

Persamaan dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)} = 1 \) dengan \( f(x) = x \) dan \( g(x) = x^2-5x+6 \). Berdasarkan persamaan eksponen tersebut, terdapat 3 kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.

Kemungkinan 1: \( f(x) = 1 \Rightarrow x = 1 \).

Kemungkinan 2: \( f(x)=-1 \Rightarrow x = -1 \). Substitusi \(x=-1\) pada \( g(x) = x^2-5x+6 \) menghasilkan \( g(-1)=(-1)^2-5(-1)+6=12 \). Karena \( g(x) \) hasilnya genap, maka nilai \(x=-1\) memenuhi.

Kemungkinan 3: \(g(x)=0 \) sehingga:

\begin{aligned} g(x) &= 0 \\[8pt] x^2-5x+6 &= 0 \\[8pt] (x-2)(x-3) &= 0 \\[8pt] x=2 \ \text{atau} \ x &= 3 \end{aligned}

Kedua nilai \(x\) ini tidak membuat \( f(x) =x \) bernilai nol sehingga memenuhi persamaan.

Jadi, kita peroleh 4 nilai \(x\), yakni \( \{ -1,1,2,3 \} \). Untuk itu, jumlah semua nilai real \(x\) positif sama dengan \( 1+2+3=6 \).

Jawaban C.

Contoh 6:

Jika \(x\) memenuhi persamaan \( 3^{x+2} – 3^x = 32 \), maka nilai \( \frac{45^x}{5^{x-1}} = \cdots \)

  1. 9
  2. 20
  3. 45
  4. 60
  5. 80

Pembahasan:

Sederhanakan \( 3^{x+2} – 3^x = 32 \) terlebih dahulu, yakni:

\begin{aligned} 3^{x+2}-3^x &= 32 \\[8pt] 3^x \cdot 3^2 - 3^x &= 32 \\[8pt] (3^2-1) \ 3^x &= 32 \\[8pt] 8\cdot 3^x &= 32 \\[8pt] 3^x &= 4 \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \frac{45^x}{5^{x-1}} &= 5^{1-x} \cdot 45^x \\[8pt] &= 5 \cdot 5^{-x} \cdot (5 \cdot 3^2)^x \\[8pt] &= 5 \cdot 5^{-x} \cdot 5^x \cdot (3^2)^x \\[8pt] &= 5 \cdot 5^0 \cdot (3^x)^2 \\[8pt] &= 5 \cdot 1 \cdot 4^2 \\[8pt] &= 80 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 7:

Jika \(\alpha\) dan \( \beta \) menyatakan akar-akar persamaan \( 3^{2x}-36\cdot 3^x + 243 = 0 \), maka \( |\alpha - \beta| = \cdots \)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa memisalkan \( 3^x = p \), kemudian selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh, yakni:

\begin{aligned} 3^{2x}-36\cdot 3^x + 243 &= 0 \\[8pt] (3^x)^2-36\cdot 3^x + 243 &= 0 \\[8pt] p^2-36p+243 &= 0 \\[8pt] (p-9)(p-27) &= 0 \\[8pt] p=9 \ \text{atau} \ p &= 27 \\[8pt] 3^x = 3^2 \ \text{atau} \ 3^x &= 3^3 \\[8pt] x=2 \ \text{atau} \ x &= 3 \end{aligned}

Karena \(\alpha\) dan \( \beta \) merupakan akar-akar persamaannya, maka \(\alpha = 2 \) dan \( \beta = 3 \) atau sebaliknya. Dengan demikian, \( |\alpha - \beta| = |2-3|=1 \).

Jawaban A.

Contoh 8:

Jika anggota himpunan penyelesaian dari persamaan \( (x+1)^{x^2+7x+10} = (2x+3)^{x^2+7x+10} \) dijumlahkan, hasilnya adalah…

  1. 7
  2. 4
  3. -4
  4. -7
  5. -11

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)}=h(x)^{g(x)} \) di mana:

\begin{aligned} f(x) &= x+1 \\[8pt] g(x) &= x^2+7x+10 \\[8pt] h(x) &= 2x+3 \end{aligned}

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen ini, ada dua kemungkinan.

Kemungkinan 1: \( f(x) = h(x) \).

\begin{aligned} f(x) &= h(x) \\[8pt] x+1 &= 2x+3 \\[8pt] x &= -2 \end{aligned}

Kemungkinan 2: \( g(x)=0 \), asalkan \( f(x) \neq 0 \) dan \( g(x) \neq 0 \).

\begin{aligned} g(x) &= 0 \\[8pt] x^2+7x+10 &= 0 \\[8pt] (x+5)(x+2) &= 0 \\[8pt] x=-5 \ \text{atau} \ x &=-2 \\[8pt] f(x) &= x+1 \\[8pt] f(-5) &= -5+1 = -4 \neq 0 \ \text{(memenuhi syarat)} \\[8pt] f(-2) &= -2+1 = -1 \neq 0 \ \text{(memenuhi syarat)} \\[8pt] h(x) &= 2x+3 \\[8pt] h(-5) &= 2(-5)+3 = -7 \neq 0 \ \text{(memenuhi syarat)} \\[8pt] h(-2) &= 2(-2)+3 = -1 \neq 0 \ \text{(memenuhi syarat)} \\[8pt] \end{aligned}

Nilai \(x=-5\) dan \(x=-2\) memenuhi syarat sehingga merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, anggota himpunan penyelesaiannya yaitu \( \{ -5,-2 \} \) sehingga jika dijumlahkan hasilnya \( -5+(-2) = -7 \).

Jawaban D.

Contoh 9:

Jika \( (3x+2)^{x^2+2x-15} = 1 \), maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah…

  1. \( \{ 5, -\frac{1}{3}, 3 \} \)
  2. \( \{ 5, \frac{1}{3} \} \)
  3. \( \{ \frac{1}{3}, 3 \} \)
  4. \( \{ -5, -1, -\frac{1}{3}, 3 \} \)
  5. \( \{ -5, \frac{1}{3}, 3 \} \)

Pembahasan:

Persamaan eksponen dalam soal ini berbentuk \( f(x)^{g(x)}=1 \) di mana \( f(x) = 3x+2 \) dan \( g(x)=x^2+2x-15 \). Untuk menyelesaikan persamaan eksponen ini, ada tiga kemungkinan yang perlu diselidiki.

Kemungkinan 1: Untuk \( f(x)=1 \) diperoleh

\begin{aligned} f(x) &= 1 \\[8pt] 3x+2&= 1 \\[8pt] 3x&=-1 \\[8pt] x &= -\frac{1}{3} \end{aligned}

Kemungkinan 2: Untuk \( f(x)=-1 \), asalkan \(g(x)\) genap, diperoleh:

\begin{aligned} f(x) &= -1 \\[8pt] 3x+2&= -1 \\[8pt] 3x&=-3 \\[8pt] x &= -1 \\[8pt] g(x) &= x^2+2x-15 \\[8pt] g(-1) &= -16 \quad \Rightarrow \text{genap (memenuhi syarat)} \end{aligned}

Kemungkinan 3: \( g(x)=0 \), asalkan \( f(x) \neq 0 \).

\begin{aligned} g(x) &= 0 \\[8pt] x^2+2x-15 &= 0 \\[8pt] (x+5)(x-3) &= 0 \\[8pt] x = -5 \ \text{atau} \ x &= 3 \\[8pt] f(x) &= 3x+2 \\[8pt] f(-5) &= -13 \neq 0 \quad \Rightarrow \text{(memenuhi syarat)} \\[8pt] f(3) &= 11 \neq 0 \quad \Rightarrow \text{(memenuhi syarat)} \end{aligned}

Dengan demikian, himpunan penyelesaian untuk persamaan eksponen \( (3x+2)^{x^2+2x-15} = 1 \) adalah \( \{ -5,-1,-\frac{1}{3},3 \} \).

Jawaban D.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.