www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Bahas Soal Matematika » Deret Pangkat, Deret Taylor, dan Deret MacLaurin › Deret Taylor dan Deret MacLaurin Fungsi Trigonometri
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Deret Taylor dan Deret MacLaurin Fungsi Trigonometri
Pangkat Bilangan Bulat Positif
Contoh 1:
Tentukan deret MacLaurin dari \( \sin x \).
Pembahasan »Pertama kita cari dulu turunan bertingkat dari \(\sin x\), kemudian tetapkan \(x = 0\). Kita peroleh hasil berikut:
\begin{aligned} f(x) = \sin x &\Leftrightarrow f(0) = \sin 0 = 0 \\[8pt] f'(x) = \cos x &\Leftrightarrow f'(0) = \cos 0 = 1 \\[8pt] f''(x) = -\sin x &\Leftrightarrow f''(0) = -\sin 0 = 0 \\[8pt] f'''(x) = -\cos x &\Leftrightarrow f'''(0) = -\cos 0 = -1 \\[8pt] f^{(4)}(x) = \sin x &\Leftrightarrow f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0 \end{aligned}
Selanjutnya, dari hasil di atas, kita dapatkan deret MacLaurin \( \sin x \) sebagai berikut:
\begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^\infty \ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \\[8pt] &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f'''(0)x^3}{3!} + \cdots \\[8pt] &= 0 + 1 \cdot x + \frac{0 \cdot x^2}{2!} + \frac{-1 \cdot x^3}{3!} + \cdots \\[8pt] &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt] &= \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^{n} \ x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{aligned}
Contoh 2:
Tentukan deret MacLaurin dari \( \cos x \).
Pembahasan »Sama dengan langkah-langkah pada Contoh 1, kita tentukan dulu turunan bertingkat dari \( \cos x \) kemudian tetapkan \( x = 0 \). Kita dapatkan hasil berikut:
\begin{aligned} f(x) = \cos x &\Leftrightarrow f(0) = \cos 0 = 1 \\[8pt] f'(x) = -\sin x &\Leftrightarrow f'(0) = -\sin 0 = 0 \\[8pt] f''(x) = -\cos x &\Leftrightarrow f''(0) = -\cos 0 = -1 \\[8pt] f'''(x) = \sin x &\Leftrightarrow f'''(0) = \sin 0 = 0 \\[8pt] f^{(4)}(x) = \cos x &\Leftrightarrow f^{(4)}(0) = \cos 0 = 1 \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh deret MacLaurin \( \cos x \) sebagai berikut:
\begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^\infty \ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \\[8pt] &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f'''(0)x^3}{3!} + \cdots \\[8pt] &= 1 + 0 \cdot x + \frac{-1 \cdot x^2}{2!} + \frac{0 \cdot x^3}{3!} + \frac{1 \cdot x^4}{4!} + \cdots \\[8pt] &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[8pt] &= \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^{n} \ x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.