www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Uji Rasio (Ratio Test)
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Rasio (Ratio Test)


Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{n!}{5^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari limit berikut ini:

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{\frac{{(n+1)}!}{5^{n+1}}}{\frac{n!}{5^n}} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left|\frac{{(n+1)} \ n!}{5^n \cdot 5} \times \frac{5^n}{n!} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \frac{n+1}{5} \\[8pt] &= \infty \end{aligned}

Karena \( L = \infty > 1 \), maka menurut Uji Rasio Mutlak, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{n!}{5^n} \displaystyle \) divergen.

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari limit berikut ini:

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \ \frac{(-1)^{n+1} \ \frac{{(n+1)}^3}{3^{n+1}}}{\ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n}} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{{(n+1)}^3}{3^n \cdot 3} \times \frac{3^n}{n^3} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \frac{(n+1)^3}{3 \cdot n^3} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \lim_{n\to \infty} \ \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \lim_{n\to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \end{aligned}

Karena \( L = 1/3 < 1 \), maka menurut Uji Rasio, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen.

Contoh 3:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^n}{n^2+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Kita cari limit berikut ini:

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \ \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{{(n+1)}^2+1}}{\frac{(-1)^n}{n^2+1}} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{(-1)^{n+1}}{{(n+1)}^2+1} \times \frac{n^2+1}{(-1)^n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \frac{n^2+1}{n^2+2n+2} = 1 \end{aligned}

Karena \( L = 1 \), maka menurut Uji Rasio, kita tidak dapat menentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^n}{n^2+1} \) divergen atau konvergen. Untuk mengetahui kekonvergenan deret ini, kita dapat mencoba uji konvergensi lainnya.

Menurut Uji Deret Ganti Tanda (Alternating Series Test), deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^n}{n^2+1} \) konvergen.

Contoh 4:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k!} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 5:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 6:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 7:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{7^n}{n!} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 8:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ e^{-n} \cdot n! \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 9:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{3^n}{n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 10:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^3}{(\ln 3)^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 11:

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen.

\begin{aligned} \frac{(1!)^2}{2!} + \frac{(2!)^2}{4!} + \cdots + \frac{(n!)^2}{(2n)!} + \cdots \end{aligned}
Pembahasan »
Contoh 12:

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen.

\begin{aligned} \frac{3 \cdot 1!}{1} + \frac{3^2 \cdot 2!}{2^2} + \frac{3^3 \cdot 3!}{3^3} + \cdots + \frac{3^n \cdot n!}{n^n} + \cdots \end{aligned}
Pembahasan »

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.