www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Uji Integral (Integral Test)
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Integral (Integral Test)


Flag Counter
Flag Counter

Uji Integral

Andaikan \(f\) adalah fungsi yang kontinu, positif dan turun pada selang \([k, ∞]\). Andaikan \(f(n) = a_n\) untuk semua \(n\) positif bulat.

  1. Jika \( \int_k^\infty f(x) \ dx \) adalah konvergen maka \( \displaystyle{\sum_{n=k}^\infty} a_n \) juga konvergen.
  2. Jika \( \int_k^\infty f(x) \ dx \) adalah divergen maka \( \displaystyle{\sum_{n=k}^\infty} a_n \) juga divergen.
Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji integral untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.

Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{(2n+1)^3} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa kita dapat menghitung \( \displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} \ dx \) dengan mudah. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan Uji Integral untuk mengetahui apakah deret ini konvergen atau divergen.

\begin{aligned} \int_1^\infty \frac{1}{(2x+1)^3} \ dx &= \lim_{t \to \infty} \ \int_1^t \frac{1}{(2x+1)^3} \ dx \\[8pt] &= -\frac{1}{2} \cdot 2 \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{(2x+1)^2} \right]_1^t \\[8pt] &= -\lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{(2t+1)^2} - \frac{1}{3^2} \right] \\[8pt] &= - \left[ 0 - \frac{1}{9} \right] = \frac{1}{9} \end{aligned}

Karena hasil dari integral adalah konvergen ke suatu bilangan terbatas yakni 1/9, maka menurut Uji Integral, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{(2n+1)^3} \) juga akan konvergen.

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari integral berikut ini:

\begin{aligned} \int_1^\infty \frac{1}{x^2+1} \ dx &= \lim_{t \to \infty} \ \int_1^t \frac{1}{x^2+1} \ dx \\[8pt] &= \lim_{t \to \infty} \left[ \tan^{-1} x \right]_1^t \\[8pt] &= \lim_{t \to \infty} \left[ \tan^{-1} t - \tan^{-1} 1 \right] \\[8pt] &= \lim_{t \to \infty} \tan^{-1} t - \frac{\pi}{4} \\[8pt] &= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \end{aligned}

Karena hasil integral ini konvergen ke suatu bilangan terbatas yakni \( \frac{\pi}{4} \), maka deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) juga akan konvergen.

Contoh 3:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n \ln n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari integral berikut ini:

\begin{aligned}\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} \ dx & = \lim_{t \to \infty } \int_{2}^{t}{{\frac{1}{{x\ln x}}\,dx}} \\[8pt] & = \lim_{t \to \infty } \left[ \ln(\ln x) \right]_2^t \\[8pt] & = \lim_{t \to \infty } \left[ \ln(\ln t) - \ln(\ln 2) \right] \\[8pt] &= \infty \end{aligned}

Karena hasil integral ini adalah tak hingga yang artinya divergen, maka deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n \ln n} \) juga divergen.

Contoh 4:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ ne^{-n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.