JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Divergen (Divergence Test)


Oleh Tju Ji Long · Statistician & Content Writer

23 Mei 2022

Uji Divergen

Misalkan kita mempunyai deret \( \sum a_n \).

  1. Jika \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n \neq 0 \), maka \(\displaystyle \sum a_n \) divergen.
  2. Jika \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n = 0 \), maka \(\displaystyle \sum a_n \) bisa konvergen atau divergen; belum dapat disimpulkan (ganti uji yang lain).
  3. Jika deret \(\displaystyle \sum a_n \) konvergen, maka \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n = 0 \).

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji divergen untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.

Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{4n^2-n^3}{10+2n^3} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Kita cari limit berikut:

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ a_n &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{4n^2-n^3}{10+2n^3} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{\frac{4n^2}{n^3} - \frac{n^3}{n^3}}{\frac{10}{n^3} - \frac{2n^3}{n^3}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{\frac{4}{n}-1}{\frac{10}{n^3}+2} = -\frac{1}{2} \neq 0 \end{aligned}

Karena hasil limit tidak sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{4n^2-n^3}{10+2n^3}\) divergen.

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Kita cari limit berikut:

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ a_n &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{n^2-1}{n^2+n} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} \\[8pt] &= 1 \neq 0 \end{aligned}

Karena hasil limit tidak sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n}\) divergen.

Contoh 3:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Kita cari limit berikut:

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ a_n &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \cdot \frac{1/n}{1/n} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1/n}{\sqrt{\frac{1}{n^2}} \cdot \sqrt{1+n^2}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1/n}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}} \neq 0 \\[8pt] &= \frac{0}{1} = 0 \end{aligned}

Karena hasil limit sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, kita tidak bisa menentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n}\) konvergen atau divergen.

Contoh 4:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n}{n+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 5:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n!}{n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 6:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n}{2n+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 7:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{3n \ e^n}{n^2+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 8:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=5}^\infty \ \frac{6+8n+9n^2}{3+2n+n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 9:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2}{5n^2+4} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 10:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 11:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \sin n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Contoh 12:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n-1}{2n+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »