Uji Deret Ganti-Tanda
Andaikan kita mempunyai deret \( \sum a_n \) di mana \(a_n\) berupa \( a_n = (-1)^n \ b_n \) atau \( (-1)^{n+1} \ b_n \) untuk setiap \(n\). Jika kedua kondisi berikut terpenuhi, yakni:
Maka deret \( \sum a_n \) konvergen
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji deret ganti tanda untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{1}{n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Perhatikan bahwa
\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{1}{n} \end{aligned}
Sehingga sesuai definisi uji deret ganti tanda, \( b_n = \frac{1}{n} \).
Sekarang, kita akan selidiki dua kondisi berikut:
Karena limit dari \(b_n = 0\) ketika \( n \to \infty \) dan \( \{ b_n \}\) adalah barisan yang menurun maka menurut Uji Deret Ganti Tanda, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{1}{n} \) konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{\cos (n\pi)}{\sqrt{n}} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Sekilas deret ini tampak bukan deret yang berganti tanda, akan tetapi perlu diketahui bahwa \( \cos(n \pi) \) tak lain adalah \( (-1)^n \) sehingga
Sehingga \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\). Sekarang kita akan periksa dua kondisi berikut, yakni:
Karena limit dari \(b_n = 0\) ketika \( n \to \infty \) dan \( \{ b_n \}\) adalah barisan yang menurun maka menurut Uji Deret Ganti Tanda, deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{\cos (n\pi)}{\sqrt{n}} \) konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{n^4+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{n^2}{n^3+4} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n}{n^2+25} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n-1} \ \frac{n^2}{n^3+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.