www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Uji Deret Ganti Tanda (Alternating Series Test)
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Deret Ganti Tanda (Alternating Series Test)


Uji Deret Ganti-Tanda

Andaikan kita mempunyai deret \( \sum a_n \) di mana \(a_n\) berupa \( a_n = (-1)^n \ b_n \) atau \( (-1)^{n+1} \ b_n \) untuk setiap \(n\). Jika kedua kondisi berikut terpenuhi, yakni:

  1. \( \displaystyle \lim_{n\to \infty} \ b_n = 0 \), dan
  2. \( \{ b_n \}\) adalah barisan yang menurun

Maka deret \( \sum a_n \) konvergen

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji deret ganti tanda untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.

Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{1}{n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Perhatikan bahwa

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{1}{n} \end{aligned}

Sehingga sesuai definisi uji deret ganti tanda, \( b_n = \frac{1}{n} \).

Sekarang, kita akan selidiki dua kondisi berikut:

\begin{aligned} &\lim_{n\to \infty} b_n = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0 \\[8pt] & b_n = \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} = b_{n+1} \\[8pt] &\quad \Rightarrow \{ b_n \} \ \text{barisan yang menurun} \end{aligned}

Karena limit dari \(b_n = 0\) ketika \( n \to \infty \) dan \( \{ b_n \}\) adalah barisan yang menurun maka menurut Uji Deret Ganti Tanda, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{1}{n} \) konvergen.

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{\cos (n\pi)}{\sqrt{n}} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Sekilas deret ini tampak bukan deret yang berganti tanda, akan tetapi perlu diketahui bahwa \( \cos(n \pi) \) tak lain adalah \( (-1)^n \) sehingga

\begin{aligned} \sum_{n=2}^\infty \frac{\cos (n\pi)}{\sqrt{n}} = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=2}^\infty \ (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \end{aligned}

Sehingga \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\). Sekarang kita akan periksa dua kondisi berikut, yakni:

\begin{aligned} &\lim_{n\to \infty} b_n = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \\[8pt] & b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}} = b_{n+1} \\[8pt] &\quad \Rightarrow \{ b_n \} \ \text{barisan yang menurun} \end{aligned}

Karena limit dari \(b_n = 0\) ketika \( n \to \infty \) dan \( \{ b_n \}\) adalah barisan yang menurun maka menurut Uji Deret Ganti Tanda, deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{\cos (n\pi)}{\sqrt{n}} \) konvergen.

Contoh 3:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{n^4+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 4:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n+1} \ \frac{n^2}{n^3+4} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 5:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n}{n^2+25} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
Contoh 6:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^{n-1} \ \frac{n^2}{n^3+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.