www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Deret Pangkat, Deret Taylor, dan Deret MacLaurin   ›  Menentukan Interval Kekonvergenan Deret Pangkat (Power Series)
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Menentukan Interval Kekonvergenan Deret Pangkat (Power Series)


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter

Kita telah membahas deret pangkat secara panjang lebar pada artikel sebelumnya di mana kita tahu suatu fungsi \(f(x)\) dapat disajikan dalam bentuk deret pangkat yang berpusat di \(x = a\) atau di \(x = 0\).

Kita juga telah membahas cara menentukan selang atau interval konvergensi suatu deret pangkat pada artikel tersebut di mana untuk menentukan himpunan atau interval kekonvergenan deret pangkat, kita dapat gunakan Uji Rasio Mutlak, yakni:

\[ \rho = \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

di mana deret akan konvergen jika \(ρ < 1\).

Pada artikel ini kita akan memberikan sejumlah contoh soal terkait cara menentukan interval konvergensi deret pangkat beserta dengan pembahasannya super lengkap.

Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1:

Tentukan selang atau interval kekonvergenan dari deret berikut:

\begin{aligned} 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \cdots + \frac{(-x)^n}{2^n} + \cdots \end{aligned}
Pembahasan »

Selang atau interval konvergensi deret pangkat dapat ditentukan menggunakan Uji Rasio Mutlak, yakni

\begin{aligned} \rho &= \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{(-x)^{n+1}}{2^{n+1}} : \frac{(-x)^n}{2^n} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{(-x)^{n+1}}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{(-x)^n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x}{2} \right| \\[8pt] &= \frac{1}{2} \ |x| \end{aligned}

Menurut Uji Rasio Mutlak, deret akan konvergen jika \(ρ < 1\). Dengan demikian, kita peroleh

\begin{aligned} \rho < 1 &\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ |x| < 1 \\[8pt] &\Leftrightarrow |x| < 2 \quad \text{atau} -2 < x < 2 \end{aligned}

Jadi, interval konvergensinya adalah untuk \(x\) antara -2 dan 2. Namun, pertanyaannya sekarang adalah apakah untuk titik-titik ujung selang yaitu pada nilai \(x = -2\) dan \(x = 2\) deret konvergen atau divergen? Untuk itu, kita akan periksa konvergensinya pada titik-titik ujung \(x = -2\) dan \(x = 2\).

Untuk \(x = -2\), deret pada soal menjadi:

\begin{aligned} &\Leftrightarrow 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \cdots + \frac{(-x)^n}{2^n} + \cdots \\[8pt] &\Leftrightarrow 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \end{aligned}

Perhatikan bahwa deret ini akan tak hingga jumlahnya, sehingga untuk \(x = -2\) deret menjadi divergen. Dengan demikian, -2 tidak termasuk dalam interval konvergensi deret tersebut.

Selanjutnya, untuk \(x = 2\), maka kita peroleh

\begin{aligned} &\Leftrightarrow 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \cdots + \frac{(-x)^n}{2^n} + \cdots \\[8pt] &\Leftrightarrow 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \end{aligned}

Perhatikan bahwa deret ini bolak-balik alias gonta-ganti tanda dengan \(|a_n|=1\) dan karena \(|a_{n+1}|=|a_n|\), maka deret ini juga divergen. Dengan demikian, 2 juga tidak termasuk dalam selang konvergensi deret tersebut.

Dengan demikian, karena titik-titik ujung \(x = -2\) dan \(x = 2\) tidak termasuk dalam interval konvergensi, maka interval konvergensi deret tersebut adalah \(-2 < x < 2\) atau (-2, 2).

Contoh 2:

Tentukan selang atau interval kekonvergenan dari deret berikut:

\begin{aligned} 1 + \frac{(x+2)}{\sqrt{2}} + \frac{(x+2)^2}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{(x+2)^n}{\sqrt{n+1}} + \cdots \end{aligned}
Pembahasan »
\begin{aligned} \rho &= \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{(x+2)^{n+1}}{\sqrt{(n+1)+1}} : \frac{(x+2)^n}{\sqrt{n+1}} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{(x+2)^{n+1}}{\sqrt{n+2}} \times \frac{\sqrt{n+1}}{(x+2)^n} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| (x+2) \ \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} \right| \\[8pt] &= |x+2| \cdot \lim_{n\to \infty} \ \sqrt{\frac{n+1}{n+2}} \\[8pt] &= |x+2| \cdot 1 = |x+2| \end{aligned}

Menurut Uji Rasio Mutlak, deret akan konvergen jika \(ρ < 1\). Dengan demikian, kita peroleh

\begin{aligned} \rho < 1 &\Leftrightarrow |x+2| < 1 \\[8pt] &\Leftrightarrow -1 < x + 2 < 1 \quad \text{atau} \\[8pt] &\Leftrightarrow -3 < x < -1 \end{aligned}

Selanjutnya, kita selidiki konvergensi deret pada titik-titik ujung selang, yakni pada \(x = -3\) dan \(x = -1\). Untuk \(x = -3\), maka deret pada soal menjadi:

\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(x+2)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \end{aligned}

Menurut Uji Deret Ganti Tanda, deret ini adalah konvergen.

Selanjutnya, untuk \(x = -1\), kita peroleh

\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(x+2)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(1)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{aligned}

Menurut Uji Integral, deret ini adalah divergen.

Dengan demikian, interval atau selang kekonvergenan deret pada soal yaitu \(-3 ≤ x < -1\) atau \([-3, -1)\).

Contoh 3:

Tentukan untuk \(x\) mana sajakah deret berikut konvergen?

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \end{aligned}
Pembahasan »

Menurut Uji Rasio Mutlak, kita peroleh:

\begin{aligned} \rho &= \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x^{n+1}}{n+1} : \frac{x^{n}}{n} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{x^{n}} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| x \ \frac{n}{n+1} \right| \\[8pt] &= |x| \cdot \lim_{n\to \infty} \ \frac{n}{n+1} \\[8pt] &= |x| \cdot 1 = |x| \end{aligned}

Deret akan konvergen jika \(ρ < 1\), sehingga kita peroleh

\begin{aligned} \rho < 1 &\Leftrightarrow |x| < 1 \\[8pt] &\Leftrightarrow -1 < x < 1 \end{aligned}

Selanjutnya, kita selidiki apa yang terjadi dengan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n} \) ketika \(x = -1\) dan \(x = 1\). Untuk \(x = 1\), kita peroleh

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n} \end{aligned}

Deret yang kita peroleh ni merupakan deret harmonik, karena itu merupakan deret yang divergen.

Untuk \(x = -1\), kita peroleh

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \ \frac{(-1)^n}{n} \end{aligned}

Deret yang kita peroleh ini merupakan deret harmonik ganti tanda yang konvergen.

Dengan demikian, deret pangkat \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n} \) konvergen pada interval [-1,1) atau \( -1 \leq x < 1 \).

Contoh 4:

Tentukan himpunan atau interval konvergensi dari deret pangkat \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{x^n}{n!} \).

Pembahasan »

Berdasarkan Uji Rasio Mutlak, kita peroleh

\begin{aligned} \rho &= \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} : \frac{x^{n}}{n!} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1) \cdot n!} \times \frac{n!}{x^{n}} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| x \ \frac{1}{n+1} \right| \\[8pt] &= |x| \cdot \lim_{n\to \infty} \ \frac{1}{n+1} \\[8pt] &= |x| \cdot 0 = 0 \end{aligned}

Menurut Uji Rasio Mutlak, deret pangkat akan konvergen jika \( \rho < 1 \) dan karena \( \rho \) yang kita peroleh di atas bernilai nol yang berarti < 1, maka deret akan konvergen pada \( (-\infty, \infty \) atau \( -\infty < x < \infty \).

Contoh 5:

Tentukan selang/interval kekonvergenan dari deret pangkat \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ (-1)^n (x-1)^n \).

Pembahasan »

Berdasarkan Uji Rasio Mutlak, kita peroleh

\begin{aligned} \rho &= \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{(-1)^{n+1} (x-1)^{n+1}}{(-1)^n (x-1)^n} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| (-1) (x-1) \right| \\[8pt] &= |x-1| \end{aligned}

Menurut Uji Rasio Mutlak, deret pangkat akan konvergen jika \(ρ < 1\) sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \rho < 1 &\Leftrightarrow |x-1| < 1 \\[8pt] &\Leftrightarrow -1 < x -1 < 1 \quad \text{atau} \\[8pt] &\Leftrightarrow 0 < x < 2 \end{aligned}

Selanjutnya, kita selidiki apa yang terjadi dengan deret ketika \(x = 0\) dan \(x = 2\). Untuk \(x = 0\), kita peroleh:

\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \ (-1)^n (x-1)^n = \sum_{n=0}^\infty \ (-1)^{2n} \end{aligned}

Deret yang kita peroleh ini merupakan deret yang divergen.

Untuk \(x = 2\), deret menjadi:

\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \ (-1)^n (x-1)^n = \sum_{n=0}^\infty \ (-1)^{n} \end{aligned}

Deret yang kita peroleh ini juga merupakan deret yang divergen.

Jadi, karena pada titik-titik ujung \(x = 0\) dan \(x = 2\) deret tersebut divergen, maka selang/interval konvergensi dari deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ (-1)^n (x-1)^n \), yaitu \(0 < x < 2\) atau (0,2).

Contoh 6:

Carilah interval konvergensi dari deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n^2 \cdot 3^n} \).

Pembahasan »

Dengan menggunakan Uji Rasio Mutlak, kita peroleh:

\begin{aligned} \rho &= \lim_{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2 \cdot 3^{(n+1)}} : \frac{x^n}{n^2 \cdot 3^n} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2 \cdot 3^{(n+1)}} \times \frac{n^2 \cdot 3^n}{x^n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| x \ \frac{n^2}{3(n+1)^2} \right| \\[8pt] &= |x| \cdot \lim_{n\to \infty} \ \frac{n^2}{3(n+1)^2} \\[8pt] &= |x| \cdot \frac{1}{3} = \frac{|x|}{3} \end{aligned}

Deret akan konvergen untuk \(ρ < 1\) sehingga kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \rho < 1 &\Leftrightarrow \frac{|x|}{3} < 1 \Rightarrow |x| < 3 \\[8pt] &\Leftrightarrow -3 < x < 3 \end{aligned}

Selanjutnya, kita selidiki konvergensi deret pada titik-titik ujung \(x\), yakni pada \(x = -3\) dan \(x = 3\). Ternyata deret konvergen pada titik-titik ujung \(x\) sehingga selang atau interval kekonvergenan dari deret pangkat \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{x^n}{n^2 \cdot 3^n} \), yaitu \(-3 ≤ x ≤ 3\).

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.