Uji Banding Limit (Limit Comparison Test)
Misalkan kita mempunyai dua deret \(\sum a_n\) dan \(\sum b_n\). Andaikan bahwa \( a_n \geq 0 \) dan \( b_n > 0 \) untuk setiap \(n\) dan
\[ L = \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_n}{b_n} \]
Apabila \( 0 < L < \infty \) maka \( \sum a_n \) dan \( \sum b_n \) bersama-sama akan konvergen atau divergen. Apabila \(L = 0\) dan \( \sum b_n \) konvergen, maka \( \sum a_n \) konvergen.
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji banding limit untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Untuk menggunakan uji banding limit kita perlu mencari deret kedua sebagai pembanding yang bisa kita tentukan konvergensinya dengan mudah. Selain itu, limit dari perbandingan deret asli dengan deret pembandingnya juga mudah dihitung.
Perhatikan bahwa \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) mirip dengan \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n} \) sehingga deret pembandingnya \(b_n = \frac{1}{3^n}\). Dengan demikian,
Karena \(L\) adalah bilangan yang positif dan terbatas, dan deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n} \) konvergen, maka menurut Uji Banding Limit, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) juga konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( \displaystyle \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) mirip dengan \( \displaystyle \frac{4^n}{3^n} \) untuk n yang besar sehingga kita akan gunakan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{3^n}\) sebagai perbandingan.
Dengan demikian, kita peroleh berikut:
Karena hasil limit adalah positif dan terbatas, yakni \(0 < 1 < \infty\), maka deret kita dapat diperbandingkan. Kita tahu deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{4}{3} \right)^n \) merupakan deret geometri yang divergen karena \(|r| = 4/3 > 1\), sehingga menurut Uji Banding Limit, deret \( \displaystyle \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) juga divergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \sqrt[n]{2} - 1 \right) \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2-n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{3n^2 + 2n + 1}{n^3 + 1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n^2-1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n + 1}{3^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{\ln n}{n^2} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{5^n}{3^n + 2} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{\sqrt{n}+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{9^n}{3 + 10^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2^n-1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.