www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Tentang Matematika & Statistika
Website Tentang Matematika & Statistika
Bahas Soal Matematika » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Contoh Soal dan Pembahasan Uji Banding (Comparison Test)
Contoh Soal dan Pembahasan Uji Banding (Comparison Test)
Uji Banding Biasa (Comparison Test)
Misalkan \(∑ a_n\) dan \(∑ b_n\) adalah deret dengan suku-suku yang tak negatif dan andaikan
- Jika deret yang lebih besar \(∑ b_n\) konvergen, maka deret yang lebih kecil \(∑ a_n\) juga konvergen (tidak berlaku sebaliknya).
- Jika deret yang lebih kecil \(∑ a_n\) divergen, maka deret yang lebih besar \(∑ b_n\) juga divergen (tidak berlaku sebaliknya).
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji banding untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.
Contoh 1:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n+1}\) mirip dengan \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n} \) untuk \(n\) yang besar sehingga kita akan gunakan \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n}\) sebagai deret pembanding.
Selain itu, karena \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n+1} \leq \frac{2^n}{3^n} \) untuk setiap bilangan asli positif \(n\) dan \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n \) merupakan deret geometri yang konvergen karena \(|r| = 2/3 < 1\), maka menurut Uji Banding, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+1} \) juga konvergen.
Contoh 2:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2+3^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Contoh 3:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 4:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{3^n-1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 5:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 6:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n-\frac{1}{2}} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 7:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^3+3n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 8:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2^n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 9:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{\ln n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 10:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=4}^\infty \ \frac{1}{n!} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 11:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 12:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2n-1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Contoh 13:
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n}{n^3+n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan »Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.