www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Integral   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tentu
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tentu


Flag Counter
Flag Counter
Contoh 1: UN MTK IPA 2017

Nilai \( \int_2^4 (6x^2-6x-1) \ dx \) adalah….

  1. 64
  2. 68
  3. 72
  4. 74
  5. 76

Pembahasan:

\begin{aligned} \int_2^4 (6x^2-6x-1) \ dx &= \left[ \frac{6}{3}x^3-\frac{6}{2}x^2-x \right]_2^4 \\[8pt] &= \left[ 2x^3-3x^2-x \right]_2^4 \\[8pt] &= [2(4)^3-3(4)^2-4]-[2(2)^3-3(2)^2-2] \\[8pt] &= [128-48-4]-[16-12-2] \\[8pt] &= 76-2 \\[8pt] &= 74 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 2: UN MTK IPS 2017

Hasil dari \( \int_{-1}^3 (6x^2+5) \ dx \) adalah…

  1. 103
  2. 76
  3. 62
  4. 40
  5. 26

Pembahasan:

\begin{aligned} \int_{-1}^3 (6x^2+5) \ dx &= \left[ \frac{6}{3}x^3+5x \right]_{-1}^3 \\[8pt] &= \left[ 2x^3+5x \right]_{-1}^3 \\[8pt] &= [2(3)^3+5(3)]-[2(-1)^3+5(-1)] \\[8pt] &= [54+15]-[-2-5] \\[8pt] &= 69+7 \\[8pt] &= 76 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 3: UN MTK IPA 2016

Jika \(n > 0\) dan \( \int_1^n (2x-3) \ dx = 12 \), maka nilai \(n\) adalah…

  1. \( 2 \)
  2. \( 3 \)
  3. \( 4 \)
  4. \( 5 \)
  5. \( 6 \)

Pembahasan:

Dalam soal ini, kita diminta untuk mencari salah satu batas dari integralnya. Pengerjaannya yaitu sebagai berikut:

\begin{aligned} \int_1^n (2x-3) \ dx = 12 \Leftrightarrow \left[ 2 \cdot \frac{1}{2}x^2-3x \right]_1^n &= 12 \\[8pt] \left[ x^2-3x \right]_1^n &= 12 \\[8pt] (n^2-3n)-(1^2-3\cdot 1) &= 12 \\[8pt] n^2-3n+2-12 &= 0 \\[8pt] n^2-3n-10 &= 0 \\[8pt] (n+2)(n-5) &= 0 \\[8pt] n = -2 \ \text{atau} \ n &= 5 \end{aligned}

Karena syaratnya \(n > 0\), maka nilai \(n\) yang dipilih adalah \(n = 5\).

Jawaban D.

Contoh 4: UN MTK IPA 2016

Nilai dari \( \int_{-1}^1 (2x^2-4x+3) \ dx = \cdots \)

  1. \( \frac{22}{3} \)
  2. \( 6 \)
  3. \( \frac{16}{3} \)
  4. \( 4 \)
  5. \( \frac{4}{3} \)

Pembahasan:

\begin{aligned} \int_{-1}^1 (2x^2-4x+3) \ dx &= \left[ \frac{2}{3}x^3-\frac{4}{2}x^2+3x \right]_{-1}^1 \\[8pt] &= \left[ \frac{2}{3}x^3-2x^2+3x \right]_{-1}^1 \\[8pt] &= \left[ \frac{2}{3}(1)^3-2(1)^2+3(1) \right]-\left[ \frac{2}{3}(-1)^3-2(-1)^2+3(-1) \right] \\[8pt] &= \left[ \frac{2}{3}-2+3 \right]-\left[-\frac{2}{3}-2-3 \right] \\[8pt] &= \frac{2}{3}+1+\frac{2}{3}+5 \\[8pt] &= \frac{4}{3}+6 = \frac{4}{3}+\frac{18}{3} \\[8pt] &= \frac{22}{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 5: UN MTK IPA 2018

Diketahui \( \int_0^3 (x^2+px+2) \ dx = \frac{3}{2} \). Nilai \(p\) yang memenuhi adalah…

  1. \( -26 \)
  2. \( -13 \)
  3. \( -3 \)
  4. \( 3 \)
  5. \( 13 \)

Pembahasan:

\begin{aligned} \int_0^3 (x^2+px+2) \ dx &= \frac{3}{2} \\[8pt] \left[ \frac{1}{3}x^3+\frac{p}{2}x^2+2x \right]_0^3 &= \frac{3}{2} \\[8pt] \left( \frac{1}{3}(3)^3+\frac{p}{2}(3)^2+2(3) \right)-0 &= \frac{3}{2} \\[8pt] 9+\frac{9}{2}p+6 &= \frac{3}{2} \\[8pt] \frac{9}{2}p+15 &= \frac{3}{2} \\[8pt] 9p+30 &= 3 \\[8pt] 9p &= -27 \\[8pt] p &= -3 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 6: UN SMA IPA 2006

Nilai \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin 2x \ dx = \cdots \)

  1. 1
  2. \( \frac{3}{4} \)
  3. \( \frac{1}{2} \)
  4. \( \frac{1}{4} \)
  5. 0

Pembahasan:

Ingat bahwa \( \int \sin ax \ dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C \). Dengan demikian, penyelesaian integral dalam soal ini, yaitu:

\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \sin 2x \ dx &= \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x \right]_0^{\pi/2} \\[8pt] &= \left[-\frac{1}{2} \cos \left(2\cdot \frac{\pi}{2} \right) \right] - \left[ -\frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0) \right] \\[8pt] &= -\frac{1}{2} \cos \pi + \frac{1}{2} \cos 0 \\[8pt] &= -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} \cdot 1 \\[8pt] &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 7: EBTANAS SMA IPA 2003

Hasil dari \( \int_0^\pi \ x \cos x \ dx = \cdots \)

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
  5. 2

Pembahasan:

Soal integral ini bisa diselesaikan dengan teknik atau metode integral parsial. Kita tahu rumus integral parsial, yaitu: \[ \int u \ dv = uv - \int v \ du \]

Dari soal integral di atas, kita bisa abaikan dulu batas integralnya, dan \( \int x \cos x \ dx \) kita misalkan menjadi \( \int u \ dv \) di mana \( u = x \) dan \( dv = \cos x \ dx \). Dari pemisalan ini, kita peroleh:

\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 1 \\[8pt] du &= dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos x \ dx \\[8pt] &= \sin x \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \cos x \ dx &= x \sin x - \int \sin x \ dx \\[8pt] &= x \sin x - (-\cos x) + C \\[8pt] &= x \sin x + \cos x + C \\[8pt] \int_0^\pi x \cos x \ dx &= [x \sin x + \cos x]_0^\pi \\[8pt] &= (\pi \sin \pi + \cos \pi)-(0 \cdot \sin 0 + \cos 0) \\[8pt] &= (\pi \cdot 0 + (-1))-(0+1) \\[8pt] &= -1-1 = -2 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 8: UTBK 2019

Diketahui fungsi \(f(x)\) adalah fungsi genap, jika nilai \( \int_{-5}^5 (f(x)+3x^2) \ dx = 260 \) dan \( \int_2^4 f(x) \ dx = 2 \) maka nilai \( \int_0^2 f(x) \ dx + \int_4^5 f(x) \ dx = \cdots \)

  1. -7
  2. -3
  3. 0
  4. 3
  5. 7

Pembahasan:

Ingat bahwa fungsi genap adalah fungsi yang simetris terhadap sumbu-y di mana \( f(x) = f(-x) \). Jika \(f(x)\) adalah fungsi genap maka \( \int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx \). Dalam hal ini, \( f(x) = 3x^2 \) adalah fungsi genap. Dengan demikian, diperoleh:

\begin{aligned} \int_{-5}^5 (f(x)+3x^2) \ dx &= 260 \\[8pt] 2 \int_0^5 (f(x)+3x^2) \ dx &= 260 \\[8pt] \int_0^5 f(x) \ dx + \int_0^5 3x^2 \ dx &= 130 \\[8pt] \int_0^5 f(x) \ dx + [x^3]_0^5 &= 130 \\[8pt] \int_0^5 f(x) \ dx + 125 &= 130 \\[8pt] \int_0^5 f(x) \ dx &= 5 \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan sifat integral bahwa \( \int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx \) dan dari hasil yang diperoleh di atas, kita bisa mencari apa yang ditanyakan dalam soal, yakni:

\begin{aligned} \int_0^5 f(x) \ dx &= 5 \\[8pt] \int_0^2 f(x) \ dx + \int_2^4 f(x) \ dx + \int_4^5 f(x) \ dx &= 5 \\[8pt] \int_0^2 f(x) \ dx + 2 + \int_4^5 f(x) \ dx &= 5 \\[8pt] \int_0^2 f(x) \ dx + \int_4^5 f(x) \ dx &= 3 \\[8pt] \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 9: UTBK 2019

Jika nilai \( \int_b^a f(x) \ dx = 5 \) dan \( \int_c^a f(x) \ dx = 0 \), maka \( \int_c^b f(x) \ dx = \cdots \)

  1. -5
  2. -3
  3. 0
  4. 4
  5. 6

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan dua sifat integral ini:

\begin{aligned} \int_a^c f(x) \ dx &= \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx \\[8pt] \int_a^b f(x) \ dx &= -\int_b^a f(x) \ dx \end{aligned}

Berdasarkan sifat integral di atas, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \int_b^a f(x) \ dx &= 5 \Leftrightarrow \int_a^b f(x) \ dx = -5 \\[8pt] \int_c^a f(x) &= 0 \Leftrightarrow \int_a^c f(x) \ dx = 0 \\[8pt] \int_a^c f(x) \ dx &= \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx \\[8pt] 0 &= -5 + \int_b^c f(x) \ dx \\[8pt] \int_b^c f(x) \ dx &= 5 \\[8pt] \int_c^b f(x) \ dx &= -5 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 10: UTBK 2019

Fungsi \(f(x)\) memenuhi \( f(x) = f(-x) \). Jika nilai \( \int_{-3}^3 f(x) \ dx = 6 \), \( \int_2^3 f(x) \ dx = 1 \), maka nilai \( \int_0^2 f(x) \ dx = \cdots \)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

Pembahasan:

Ingat bahwa jika \(f(x)=f(-x)\) maka fungsi tersebut adalah fungsi genap dan simetris terhadap sumbu-y. Jika \(f(x)\) adalah fungsi genap, maka \( \int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx \). Dengan demikian, diperoleh:

\begin{aligned} \int_{-3}^3 f(x) \ dx &= 6 \\[8pt] 2 \int_0^3 f(x) \ dx &= 6 \\[8pt] \int_0^3 f(x) \ dx &= 3 \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan sifat integral bahwa \( \int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx \) dan dari hasil yang diperoleh di atas, kita bisa mencari yang diminta dalam soal, yakni:

\begin{aligned} \int_0^3 f(x) \ dx &= \int_0^2 f(x) \ dx + \int_2^3 f(x) \ dx \\[8pt] 3 &= \int_0^2 f(x) \ dx + 1 \\[8pt] \int_0^2 f(x) \ dx &= 2 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 11: UTBK 2019

Diketahui \(f(x)\) merupakan fungsi genap, jika \( \int_{-4}^4 f(x) \ dx = 16, \int_3^4 f(2x-2) \ dx = 11 \) dan \( \int_{-5}^{-1} f(1-x) \ dx = 6 \), maka \( \int_0^2 f(x) \ dx = \cdots \)

  1. 22
  2. 23
  3. 24
  4. 25
  5. 26

Pembahasan:

Ingat bahwa jika \( f(x) \) adalah fungsi genap maka \( \int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx \) sehingga:

\begin{aligned} \int_{-4}^4 f(x) \ dx &= 16 \\[8pt] 2 \int_0^4 f(x) \ dx &= 16 \\[8pt] \int_0^4 f(x) \ dx &= 8 \end{aligned}

Selanjutnya, kita bisa sederhanakan \( \int_3^4 f(2x-2) \ dx = 11 \), yakni misalkan \( u = 2x-2 \) sehingga diperoleh \( dx = \frac{1}{2} \ du \). Berikutnya, ganti batas dari integralnya, yaitu untuk \(x=3 \Rightarrow u = 4\) dan untuk \(x=4 \Rightarrow u = 6 \). Dengan demikian, dapat kita tuliskan:

\begin{aligned} \int_3^4 f(2x-2) \ dx &= 11 \\[8pt] \int_4^6 f(u) \ \frac{1}{2} \ du &= 11 \\[8pt] \int_4^6 f(u) \ du &= 22 \\[8pt] \int_4^6 f(x) \ dx &= 22 \end{aligned}

Dengan cara yang sama seperti di atas, sederhanakan \( \int_{-5}^{-1} f(1-x) \ dx = 6 \), yakni misalkan \(u = 1-x\) sehingga \( dx = -du \). Untuk \( x = -5 \Rightarrow u = 6 \) dan untuk \( x = -1 \Rightarrow u = 2 \) sehingga dapat kita tuliskan:

\begin{aligned} \int_{-5}^{-1} f(1-x) \ dx = 6 &\Leftrightarrow \int_6^2 f(u) \ -du = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow -\int_6^2 f(u) \ du = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow \int_2^6 f(u) \ du = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow \int_2^6 f(x) \ dx = 6 \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan sifat integral bahwa \( \int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx \) dan dari hasil yang diperoleh di atas, maka:

\begin{aligned} \int_2^6 f(x) \ dx &= \int_2^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx \\[8pt] 6 &= \int_2^4 f(x) \ dx + 22 \\[8pt] \int_2^4 f(x) \ dx &= -16 \\[8pt] \int_0^4 f(x) \ dx &= \int_0^2 f(x) \ dx + \int_2^4 f(x) \ dx \\[8pt] 8 &= \int_0^2 f(x) \ dx + (-16) \\[8pt] \int_0^2 f(x) \ dx &= 24 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12: SIMAK UI 2019

Jika \( \int_a^b f’(x) f(x) \ dx = 10 \) dan \( f(a) = 2+f(b) \), nilai \(f(b) = \cdots\)

  1. -2
  2. -4
  3. -6
  4. -8
  5. -10

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal integral ini, kita harus pandai memanfaatkan informasi yang diberikan dalam soal. Perhatikan penyelesaiannya berikut ini:

\begin{aligned} f(a) = 2 + f(b) \Leftrightarrow f(b)-f(a) &= -2 \qquad \cdots(1) \\[8pt] \int_a^b f'(x) f(x) \ dx = 10 \Leftrightarrow \int_a^b f(x) d(f(x)) &= 10 \\[8pt] \left[\frac{1}{2}f^2(x) \right]_a^b &= 10 \\[8pt] \frac{1}{2}(f^2(b)-f^2(a)) &= 10 \\[8pt] (f(b)-f(a))(f(b)+f(a)) &= 20 \\[8pt] -2 (f(b)+f(a)) &= 20 \\[8pt] f(b)+f(a) &= 10 \qquad\cdots(2) \end{aligned}

Selanjutnya, dengan cara eliminasi persamaan (1) dan (2) di atas, diperoleh \( f(b) = -6 \).

Jawaban C.

Contoh 13: SBMPTN 2018

Nilai \( \displaystyle \int_{1/8}^{1/3} \frac{3}{x^2} \sqrt{ 1+ \frac{1}{x} } \ dx \) adalah…

  1. 19
  2. 38
  3. 57
  4. 76
  5. 95

Pembahasan:

Misalkan \( u = 1+\frac{1}{x} \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = 1+\frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= -\frac{1}{x^2} \\[8pt] dx &= -x^2 \ du \end{aligned}

Selanjutnya, ganti batas dari integralnya, yakni:

\begin{aligned} x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u = 1+\frac{1}{x} = 4 \\[8pt] x = \frac{1}{8} \Leftrightarrow u = 1+\frac{1}{x} = 9 \end{aligned}

Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int_{1/8}^{1/3} \frac{3}{x^2} \sqrt{ 1+ \frac{1}{x} } \ dx &= \int_9^4 \frac{3}{x^2} \sqrt{u} \cdot (-x^2) \ du \\[8pt] &= - \int_9^4 \sqrt{u} \ du = \int_4^9 3u^{1/2} \ du \\[8pt] &= \left[ \frac{3}{\frac{1}{2}+1}u^{3/2} \right]_4^9 = \left[ 2u^{3/2} \right]_4^9 \\[8pt] &= 2(9)^{3/2}-2(4)^{3/2} \\[8pt] &= 54-16 \\[8pt] &= 38 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 14: SBMPTN 2018

Nilai \( \displaystyle \int_0^3 \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \ dx \) adalah…

  1. 3
  2. 6
  3. 8
  4. 9
  5. 12

Pembahasan:

Misalkan \( u = x+1 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = x+1 \Leftrightarrow x &= u-1 \\[8pt] \frac{dx}{du} &= 1 \\[8pt] dx &= du \end{aligned}

Selanjutnya, ganti batas dari integralnya, yakni:

\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow u = x+1 = 0+1 = 1 \\[8pt] x = 3 \Rightarrow u = x+1 = 3+1 = 4 \end{aligned}

Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int_0^3 \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \ dx &= \int_1^4 \frac{3(u-1)}{\sqrt{u}} \ du = \int_1^4 \frac{3u-3}{\sqrt{u}} \ du \\[8pt] &= \int_1^4 \frac{3u}{\sqrt{u}} \ du - \int_1^4 \frac{3}{\sqrt{u}} \ du \\[8pt] &= \int_1^4 3u^{1/2} \ du - \int_1^4 3u^{-1/2} \ du \\[8pt] &= \left[ 3 \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_1^4 - \left[ 3 \cdot 2u^{1/2} \right]_1^4 \\[8pt] &= \left[ 2u^{3/2} \right]_1^4 - \left[6u^{1/2} \right]_1^4 \\[8pt] &= (2(4)^{3/2}-2(1)^{3/2})-(6(4)^{1/2}-6(1)^{1/2}) \\[8pt] &= (16-2)-(12-6) \\[8pt] &= 8 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 15: SBMPTN 2018

Jika \( \displaystyle \int_1^2 f(x) \ dx = \sqrt{2} \), maka nilai \( \displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} f( \sqrt{x} ) \ dx \) adalah…

  1. \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)
  2. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  3. \( \sqrt{2} \)
  4. \( 2\sqrt{2} \)
  5. \( 4\sqrt{2} \)

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengingat ini:

\begin{aligned} \int_a^b \ f(x) \ dx = \int_a^b f(u) \ du = \int_a^b f(t) \ dt = \cdots \end{aligned}

Sekarang, misalkan \(u = \sqrt{x} \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = \sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\[8pt] dx &= 2\sqrt{x} \ du \\[8pt] dx &= 2u \ du \end{aligned}

Selanjutnya, ganti batas dari integralnya, yakni:

\begin{aligned} x &= 1 \Rightarrow u = \sqrt{x} = \sqrt{1} = 1 \\[8pt] x &= 4 \Rightarrow u = \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \ f( \sqrt{x} ) \ dx &= \int_1^2 \frac{1}{u} f(u) \cdot 2u \ du \\[8pt] &= 2 \int_1^2 f(u) \ du \\[8pt] &= 2 \int_1^2 f(x) \ dx \\[8pt] &= 2\sqrt{2} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 16: SBMPTN 2018

Jika \( \displaystyle \int_0^4 f(x) \ dx = \sqrt{2} \) maka nilai \( \displaystyle \int_0^2 x f(x^2) \ dx \) adalah…

  1. \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)
  2. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  3. \( \sqrt{2} \)
  4. \( 2\sqrt{2} \)
  5. \( 4\sqrt{2} \)

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengingat ini:

\begin{aligned} \int_a^b \ f(x) \ dx = \int_a^b f(u) \ du = \int_a^b f(t) \ dt = \cdots \end{aligned}

Sekarang, misalkan \(u = x^2 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = x^2 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2x \\[8pt] dx &= \frac{du}{2x} \end{aligned}

Selanjutnya, ganti batas dari integralnya, yakni:

\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow u = x^2 = 0^2 = 0 \\[8pt] x = 2 \Rightarrow u = x^2 = 2^2 = 4 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} \int_0^2 x f(x^2) \ dx &= \int_0^4 x f(u) \cdot \frac{du}{2x} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int_0^4 f(u) \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int_0^4 f(x) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 17: SIMAK UI 2018

Jika \( f(x) \) fungsi kontinu di interval \([1,30]\) dan \( \displaystyle \int_6^{30} f(x) \ dx = 30 \), maka \( \displaystyle \int_1^9 f(3y+3) \ dy = \cdots \)

  1. 5
  2. 10
  3. 15
  4. 18
  5. 27

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengingat ini:

\begin{aligned} \int_a^b \ f(x) \ dx = \int_a^b f(u) \ du = \int_a^b f(t) \ dt = \cdots \end{aligned}

Sekarang, misalkan \(u = 3y+3 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = 3y+3 \Leftrightarrow \frac{du}{dy} &= 3 \\[8pt] dy &= \frac{du}{3} \end{aligned}

Selanjutnya, ganti batas dari integralnya, yakni:

\begin{aligned} y = 1 \Rightarrow u = 3y+3 = 3(1)+3 = 6 \\[8pt] y = 9 \Rightarrow u = 3y+3 = 3(9)+3 = 30 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} \int_1^9 f(3y+3) \ dy &= \int_6^{30} f(u) \cdot \frac{du}{3} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \int_6^{30} f(u) \ du \\[8pt] &= \frac{1}{3} \int_6^{30} f(x) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 30 = 10 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 18: SIMAK UI 2017

Jika \( 3x^5-3 = \int_c^x g(t) \ dt \), maka \( g( \frac{c}{2} ) = \cdots \)

  1. \( \frac{10}{16} \)
  2. \( \frac{12}{16} \)
  3. \( \frac{14}{16} \)
  4. \( \frac{15}{16} \)
  5. \( \frac{17}{16} \)

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mencari \( g(x) \) dulu. Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} 3x^5-3 &= \int_c^x g(t) \ dt \\[8pt] 3x^5-3 &= [G(t)]_c^x \\[8pt] 3x^5-3 &= G(x)-G(c) \\[8pt] 15x^4 &= G'(x) \\[8pt] 15x^4 &= g(x) \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan mencari nilai \(c\) yakni sebagai berikut:

\begin{aligned} 3x^5-3 &= \int_c^x g(t) \ dt \\[8pt] 3x^5-3 &= \int_c^x g(x) \ dx \\[8pt] 3x^5-3 &= \int_c^x 15x^4 \ dx \\[8pt] 3x^5-3 &= [3x^5]_c^x \\[8pt] 3x^5-3 &= 3x^5-3c^5 \\[8pt] 3 &= 3c^5 \\[8pt] c &= 1 \end{aligned}

Dengan demikian, berdasarkan hasil di atas, diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} g(x) &= 15x^4 \\[8pt] g \left( \frac{c}{2} \right) &= g \left( \frac{1}{2} \right) = 15\left( \frac{1}{2} \right)^4 \\[8pt] &= 15 \cdot \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 19: SBMPTN 2017

Jika \( \int_{-4}^{4} f(x) (\sin x+1) \ dx = 8 \), dengan \( f(x) \) fungsi genap dan \( \int_{-2}^4 f(x) \ dx = 4 \) maka \( \int_{-2}^0 f(x) \ dx = \cdots \)

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengingat bahwa fungsi ganjil adalah fungsi yang simetris terhadap titik asal atau O(0,0) dan berlaku \( f(-x)=-f(x) \). Selain itu, untuk fungsi ganjil juga berlaku \( \displaystyle \int_{-a}^a f(x) \ dx = 0 \). Sementara itu, untuk fungsi genap berlaku \( \displaystyle \int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx \).

Dari soal diketahui bahwa:

\begin{aligned} \int_{-4}^{4} f(x) (\sin x+1) \ dx &= 8 \\[8pt] \int_{-4}^{4} f(x) \sin x \ dx + \int_{-4}^{4} f(x) \ dx &= 8 \\[8pt] \end{aligned}

Karena \(\sin x\) merupakan fungsi ganjil maka \( f(x) \sin x \) juga merupakan fungsi ganjil sehingga \( \displaystyle \int_{-4}^{4} f(x) \sin x \ dx = 0 \). Dengan demikian, diperoleh:

\begin{aligned} \int_{-4}^{4} f(x) (\sin x+1) \ dx &= 8 \\[8pt] \int_{-4}^{4} f(x) \sin x \ dx + \int_{-4}^{4} f(x) \ dx &= 8 \\[8pt] 0 + \int_{-4}^{4} f(x) \ dx &= 8 \\[8pt] 2 \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 8 \\[8pt] \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4 \\[8pt] \end{aligned}

Dari soal diketahui bahwa

\begin{aligned} \int_{-2}^4 f(x) \ dx &= 4 \\[8pt] \int_{-2}^0 f(x) \ dx + \int_0^4 f(x) \ dx &= 4 \\[8pt] \int_{-2}^0 f(x) \ dx + 4 &= 4 \\[8pt] \int_{-2}^0 f(x) \ dx &= 0 \end{aligned}

Jadi, \( \displaystyle \int_{-2}^0 f(x) \ dx = 0 \).

Jawaban A.

Contoh 20: SBMPTN 2016

Diketahui fungsi \( f(x) = f(x+2) \) untuk setiap \(x\). Jika \( \int_0^2 f(x) \ dx = B \), maka \( \int_3^7 f(x+8) \ dx = \cdots \)

  1. B
  2. 2B
  3. 3B
  4. 4B
  5. 5B

Pembahasan:

Ingat bahwa jika \( f(x) = f(x+c) \) maka \( f(x) \) adalah fungsi periodik dengan periode \(c\) sehingga berlaku:

\begin{aligned} \int_a^b f(x) \ dx = \int_{a+c}^{b+c} f(x) \ dx = \int_{a+2c}^{b+2c} f(x) \ dx = \cdots \\[8pt] \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b f(x+c) \ dx = \int_a^b f(x+2c) \ dx = \cdots \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, diperoleh:

\begin{aligned} \int_3^7 f(x+8) \ dx &= \int_3^7 f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_{3-2}^{4-2} f(x) \ dx + \int_{4- 2 \cdot 2}^{6-2\cdot 2} f(x) \ dx + \int_{6-3 \cdot 2}^{7-3 \cdot 2} f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_1^2 f(x) \ dx + \int_0^2 f(x) \ dx + \int_0^1 f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_0^1 f(x) \ dx + \int_1^2 f(x) \ dx + \int_0^2 f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_0^2 f(x) \ dx + \int_0^2 f(x) \ dx \\[8pt] &= B+B \\[8pt] &= 2B \end{aligned}

Jawaban B.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel terkait

Inside of every problem lies an opportunity.

Robert Kiyosaki