www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Bahas Soal Matematika » Integral › Contoh Soal dan Pembahasan Integral Substitusi Trigonometri
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-30 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Contoh Soal dan Pembahasan Integral Substitusi Trigonometri
Terdapat beberapa teknik atau cara untuk menyelesaikan suatu integral, misalnya teknik substitusi, teknik parsial, teknik substitusi trigonometri, dan teknik-teknik integral lainnya. Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal integral yang penyelesaiannya akan menggunakan teknik integral substitusi trigonometri.
Integral yang melibatkan substitusi trigonometri biasanya integrannya akan memuat ekspresi seperti \( \sqrt{ a^2-x^2 }, \ \sqrt{a^2+x^2} \), atau \( \sqrt{x^2-a^2} \). Sekali lagi, di artikel ini kita hanya akan membahas contoh-contoh soal, sedangkan untuk materi mengenai teknik integral substitusi, silahkan baca pada artikel berikut:
Contoh 1:
Tentukan \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat gunakan teknik integral substitusi trigonometri. Dengan memisalkan \( x = a \sin t \) kita peroleh hasil berikut:
Selanjutnya, kita akan gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yakni:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \cos t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Perhatikan hasil berikut.
Contoh 2:
Tentukan \( \int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx \).
Pembahasan:
Dengan memisalkan \( x = a \sec t \) diperoleh hasil berikut:
Selanjutnya, gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yakni:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \tan t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga siku-siku yang lain menggunakan Rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:
Contoh 3:
Tentukan \( \int \sqrt{a^2 + x^2} \ dx \).
Pembahasan:
Dengan memisalkan \( x = a \tan t \) diperoleh hasil berikut:
Selanjutnya, gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yakni:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \sec t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga siku-siku yang lain menggunakan Rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:
Baca juga:
Contoh 4:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x} \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan teknik integral substitusi trigonometri. Misalkan \( x = 2 \sin t \) sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Selanjutnya, gunakan informasi yang didapatkan di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yakni:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \cos t \) dan \( \csc t \), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku terlebih dahulu berdasarkan informasi pemisalan yang dibuat di awal tadi. Selanjutnya cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita dapatkan:
Contoh 5:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9+x^2}} \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat gunakan teknik integral substitusi trigonometri. Misalkan \(x = 3 \tan t \) sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
Selanjutnya, gunakan hasil yang diperoleh di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yaitu:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \sec t \) kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:
Contoh 6:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat gunakan teknik integral substitusi trigonometri. Misalkan \(x = \sin t \) sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
Selanjutnya, gunakan hasil di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yaitu:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \cos t \) kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:
Contoh 7:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}} \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat gunakan teknik integral substitusi trigonometri. Kita misalkan \(x = \tan t \) sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
Selanjutnya, gunakan hasil di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yaitu:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \sin t \) kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:
Contoh 8:
Tentukan \( \displaystyle \int x^2 \sqrt{9-4x^2} \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat gunakan teknik integral substitusi trigonometri. Misalkan \(x = \frac{3}{2} \sin t \) sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
Selanjutnya, gunakan hasil di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yaitu:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \(t, \ \sin t \) dan \(\cos t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:
Baca juga:
Contoh 9:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{4x^2+1}} \).
Pembahasan:
Dengan memisalkan \( x = \frac{1}{2} \tan t \), diperoleh hasil berikut:
Selanjutnya, gunakan hasil di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yaitu:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \sec t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Kemudian kita cari sisi lain dari segitiga yang belum diketahui tersebut menggunakan rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita dapatkan.
Contoh 10:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{9-x^2}} \).
Pembahasan:
Dengan memisalkan \( x = 3 \sin t \) diperoleh hasil berikut:
Selanjutnya, gunakan hasil di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yaitu:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \cos t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan Rumus Phytagors. Berikut hasil yang kita dapatkan:
Contoh 11:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} \ dx \).
Pembahasan:
Dengan memisalkan \( x = 3 \sin t \) diperoleh hasil berikut:
Selanjutnya, gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yakni:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \cos t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan Rumus Phytagors. Berikut hasil yang kita dapatkan:
Contoh 12:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}} \ dx \).
Pembahasan:
Dengan memisalkan \( x = 4 \sin t \) diperoleh hasil berikut:
Selanjutnya, gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral dalam soal ini, yakni:
Keterangan:
Untuk mencari nilai \( \cos t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga tersebut yang belum diketahui menggunakan Rumus Phytagors. Berikut hasil yang kita dapatkan:
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
Artikel terkait
Inside of every problem lies an opportunity.