Contoh Soal dan Pembahasan Integral Kelas 11
Contoh 1:
Tentukan \( \displaystyle \int 9x^2 \cos(x^3+\sqrt[4]{23}) \ dx \).
Pembahasan:
Kita bisa selesaikan integral ini dengan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = x^3 + \sqrt[4]{23} \) sehingga
\begin{aligned} u = x^3 + \sqrt[4]{23} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 3x^2 \\[8pt] \Leftrightarrow dx = \frac{du}{3x^2} \end{aligned}
Dengan substitusi hasil di atas ke soal integral, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int 9x^2 \cos(x^3+\sqrt[4]{23}) \ dx &= \int 9x^2 \cdot \cos u \cdot \frac{du}{3x^2} \\[8pt] &= \int 3 \cos u \ du = 3 \int \cos u \ du \\[8pt] &= 3 \sin u + C \\[8pt] &= 3 \sin(x^3+\sqrt[4]{23}) + C \end{aligned}
Contoh 2: UN MTK IPA 2018
Hasil dari \( \int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}} \ dx = \cdots \)
- \( -\sqrt{x^2-2x+10} + C \)
- \( -\frac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+10} + C \)
- \( \frac{1}{2} \sqrt{x^2-2x+10} + C \)
- \( \sqrt{x^2-2x+10} + C \)
- \( 2\sqrt{x^2-2x+10} + C \)
Pembahasan:
Misalkan \( u = x^2-2x+10 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = x^2-2x+10 &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 2x-2 \\[8pt] &\Leftrightarrow dx = \frac{1}{2(x-1)} \ du \end{aligned}
Selanjutnya, substitusi hasil di atas ke soal integral, diperoleh:
\begin{aligned} \int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}} \ dx &= \int \frac{x-1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2(x-1)} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \ du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}u^{-\frac{1}{2}+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}\cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u}+C \\[8pt] &= \sqrt{x^2-2x+10} + C \end{aligned}
Jawaban D.
Contoh 3: UN MTK IPA 2016
Hasil dari \( \int \frac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}} \ dx = \cdots \)
- \( -\frac{3}{2} \sqrt{6x-x^3} + C \)
- \( -\frac{2}{3} \sqrt{6x-x^3} + C \)
- \( -\frac{1}{6} \sqrt{6x-x^3} + C \)
- \( \frac{1}{6} \sqrt{6x-x^3} + C \)
- \( \frac{2}{3} \sqrt{6x-x^3} + C \)
Pembahasan:
Misalkan \( u = 6x-x^3 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = 6x-x^3 &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 6-3x^2 \\[8pt] &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -3(x^2-2) \\[8pt] &\Leftrightarrow dx = \frac{1}{-3(x^2-2)} \ du \end{aligned}
Selanjutnya, substitusi hasil di atas ke soal integral, diperoleh:
\begin{aligned} \int \frac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}} \ dx &= \int \frac{x^2-2}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{-3(x^2-2)} \ du \\[8pt] &= -\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \ du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} \ du \\[8pt] &= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}u^{-\frac{1}{2}+1} + C \\[8pt] &= -\frac{1}{3} \cdot 2u^\frac{1}{2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{u}+C \\[8pt] &= -\frac{2}{3} \sqrt{6x-x^3}+C \end{aligned}
Jawaban B.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Inside of every problem lies an opportunity.