Contoh 1:

Nilai kemiringan atau gradient garis singgung pada kurva \( y = \cos x +2 \) di titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…

1. \( 2-\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
2. \( -1 \)
3. \( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
4. \( \frac{1}{2}\sqrt{3} \)
5. \( 2+\frac{1}{2}\sqrt{3} \)

Pembahasan:

Diketahui \( y = \cos x + 2 \) sehingga turunan pertamanya adalah \( y’ = -\sin x \). Karena gradien dari suatu fungsi sama dengan turunan pertamanya (m = y’), maka gradien garis singgung kurva \( y = \cos x + 2 \) di titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \), yaitu:

Jawaban C.

Contoh 2:

Nilai kemiringan atau gradient garis singgung pada kurva \( y = \sin x + 3 \cos x \) di titik \( x = \frac{\pi}{4} \) adalah…

1. \( -\frac{1}{2} \sqrt{2} \)
2. \( -\sqrt{2} \)
3. \( 1+\sqrt{2} \)
4. \( \frac{1}{2} \sqrt{2} \)
5. \( \sqrt{2} \)

Pembahasan:

Diketahui \( y = \sin x + 3 \cos x \) sehingga turunan pertamanya adalah \( y’ = \cos x-3\sin x \). Karena gradien dari suatu fungsi sama dengan turunan pertamanya (m = y’), maka gradien garis singgung kurva \( y = \sin x + 3 \cos x \) di titik yang berabsis \( \frac{\pi}{4} \), yaitu:

Jawaban B.

Contoh 3:

Persamaan garis singgung pada kurva \( y = \frac{\sin x}{1+\cos x} \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) atau \( x = \frac{\pi}{3} \) adalah…

1. \( y = \frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\pi}{4} \)
2. \( y = \frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi}{9} \)
3. \( y = \frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\pi}{4} \)
4. \( y = \frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi}{9} \)
5. \( y = \frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi}{9} \)

Pembahasan:

Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:

Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{3}\sqrt{3} \) dan bergradien \( m = \frac{2}{3} \) adalah…

Jawaban D.

Contoh 4:

Persamaan garis singgung pada \( y = 3 \sin x \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…

1. \( y = \frac{2}{3} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)
2. \( y = \frac{2}{3} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)
3. \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
4. \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
5. \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \)

Pembahasan:

Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:

Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, \frac{3}{2}\sqrt{3} \) dan bergradien \( m = \frac{3}{2} \) adalah…

Jawaban D.

Contoh 5:

Persamaan garis singgung pada \( y=\sec^2 x \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…

1. \( y = 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
2. \( y = 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \)
3. \( y = -8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
4. \( y = -8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \)
5. \( y = 4\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)

Pembahasan:

Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:

Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, 4 \) dan bergradien \( m = 8\sqrt{3} \) adalah…

Jawaban B.

Contoh 6:

Garis singgung pada parabola \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) yang sejajar dengan garis \( x – 2y + 3 = 0\) adalah…

1. \( x - 2y - 9 = 0 \)
2. \( x + 2y - 13 = 0 \)
3. \( 2y + x + 12 = 0 \)
4. \( 2y - x - 11 = 0 \)
5. \( 2y - x - 1 = 0 \)

Pembahasan:

Diketahui \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) sehingga turunan pertama dari \(y\) adalah \( y’ = 2x + 6 \frac{1}{2}x \).

Selanjutnya, garis \(x – 2y + 3 = 0\) memiliki gradien

\[ m = - \frac{ \text{Koefisien} \ x}{ \text{Koefisien} \ y} = - \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]

Karena \( y’ = m \) maka kita peroleh:

\begin{aligned} y' = m \Leftrightarrow 2x + 6 \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\[8pt] 2x &= \frac{1}{2}-6 \frac{1}{2} \\[8pt] x &= \frac{-6}{2} = -3 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi \(x = -3\) pada \(y\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} y &= x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= (-3)^2 + 6 \frac{1}{2}(-3) + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 19 \frac{1}{2} + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 5 = 4 \end{aligned}

Jadi, titik singgungnya di (-3,4). Dengan demikian, persamaan garis yang bergradien \( m = \frac{1}{2} \) dan melalui titik \( (x_1,y_2) = (-3,4) \) adalah

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}(x+3) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \\[8pt] 2y - 8 &= x + 3 \\[8pt] 2y - x - 11 &= 0 \end{aligned}

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(2y - x - 11 = 0\).

Pilihan jawaban yang tepat adalah D.