www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Turunan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Kurva
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-30 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Kurva


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter
Contoh 1:

Nilai kemiringan atau gradient garis singgung pada kurva \( y = \cos x +2 \) di titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…

  1. \( 2-\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
  2. \( -1 \)
  3. \( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
  4. \( \frac{1}{2}\sqrt{3} \)
  5. \( 2+\frac{1}{2}\sqrt{3} \)

Pembahasan:

Diketahui \( y = \cos x + 2 \) sehingga turunan pertamanya adalah \( y’ = -\sin x \). Karena gradien dari suatu fungsi sama dengan turunan pertamanya (m = y’), maka gradien garis singgung kurva \( y = \cos x + 2 \) di titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \), yaitu:

\begin{aligned} m &= y' = -\sin x \\[8pt] &= -\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= -\sin 60^\circ \\[8pt] &= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 2:

Nilai kemiringan atau gradient garis singgung pada kurva \( y = \sin x + 3 \cos x \) di titik \( x = \frac{\pi}{4} \) adalah…

  1. \( -\frac{1}{2} \sqrt{2} \)
  2. \( -\sqrt{2} \)
  3. \( 1+\sqrt{2} \)
  4. \( \frac{1}{2} \sqrt{2} \)
  5. \( \sqrt{2} \)

Pembahasan:

Diketahui \( y = \sin x + 3 \cos x \) sehingga turunan pertamanya adalah \( y’ = \cos x-3\sin x \). Karena gradien dari suatu fungsi sama dengan turunan pertamanya (m = y’), maka gradien garis singgung kurva \( y = \sin x + 3 \cos x \) di titik yang berabsis \( \frac{\pi}{4} \), yaitu:

\begin{aligned} m &= y' = \cos x-3\sin x \\[8pt] &= \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) - 3\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \\[8pt] &= \cos 45^\circ-3\sin 45^\circ \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{2}-3 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \\[8pt] &=-\sqrt{2} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 3:

Persamaan garis singgung pada kurva \( y = \frac{\sin x}{1+\cos x} \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) atau \( x = \frac{\pi}{3} \) adalah…

  1. \( y = \frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\pi}{4} \)
  2. \( y = \frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi}{9} \)
  3. \( y = \frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\pi}{4} \)
  4. \( y = \frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi}{9} \)
  5. \( y = \frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi}{9} \)

Pembahasan:

Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:

\begin{aligned} f(x) = y &= \frac{\sin x}{1+\cos x} \Leftrightarrow y = \frac{u}{v} \\[8pt] y' &= \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \\[8pt] m &= y' = \frac{\cos x \cdot (1+\cos x)-\sin x \cdot (-\sin x)}{(1+\cos x)^2} \\[8pt] &= \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2} \\[8pt] &= \frac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \frac{1}{1+\cos x} \\[8pt] f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= \frac{1}{1+\cos \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} =\frac{2}{3} \end{aligned}

Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:

\begin{aligned} f(x) = y &= \frac{\sin x}{1+\cos x} \\[8pt] f\left( x= \frac{\pi}{3} \right) &= \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{1+ \cos \frac{\pi}{3}} \\[8pt] &= \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \times \frac{2}{3} \\[8pt] &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{aligned}

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{3}\sqrt{3} \) dan bergradien \( m = \frac{2}{3} \) adalah…

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-\frac{1}{3}\sqrt{3} &= \frac{2}{3} \left( x- \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] y &= \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\sqrt{3}-\frac{2\pi}{9} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 4:

Persamaan garis singgung pada \( y = 3 \sin x \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…

  1. \( y = \frac{2}{3} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)
  2. \( y = \frac{2}{3} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)
  3. \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
  4. \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
  5. \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \)

Pembahasan:

Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:

\begin{aligned} f(x) = y &= 3 \sin x \\[8pt] m &= y' = 3 \cos x \\[8pt] f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 3 \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{aligned}

Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:

\begin{aligned} f(x) = y &= 3 \sin x \\[8pt] f\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 3 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 3 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{aligned}

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, \frac{3}{2}\sqrt{3} \) dan bergradien \( m = \frac{3}{2} \) adalah…

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-\frac{3}{2}\sqrt{3} &= \frac{3}{2} \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] y &= \frac{3}{2} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+\frac{3}{2}\sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5:

Persamaan garis singgung pada \( y=\sec^2 x \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…

  1. \( y = 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
  2. \( y = 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \)
  3. \( y = -8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
  4. \( y = -8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \)
  5. \( y = 4\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)

Pembahasan:

Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:

\begin{aligned} f(x) = y &= \sec^2 x \\[8pt] m &= y' = 2 \sec x \cdot \sec x \tan x \\[8pt] m &= y' = 2 \sec^2 x \cdot \tan x \\[8pt] f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 2 \sec^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \cdot \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 2 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \end{aligned}

Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:

\begin{aligned} f(x) = y &= \sec^2 x \\[8pt] f\left( \frac{\pi}{3} \right) &= \sec^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 2^2 = 4 \end{aligned}

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, 4 \) dan bergradien \( m = 8\sqrt{3} \) adalah…

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-4 &= 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] y &= 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 6:

Garis singgung pada parabola \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) yang sejajar dengan garis \( x – 2y + 3 = 0\) adalah…

  1. \( x - 2y - 9 = 0 \)
  2. \( x + 2y - 13 = 0 \)
  3. \( 2y + x + 12 = 0 \)
  4. \( 2y - x - 11 = 0 \)
  5. \( 2y - x - 1 = 0 \)

Pembahasan:

Diketahui \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) sehingga turunan pertama dari \(y\) adalah \( y’ = 2x + 6 \frac{1}{2}x \).

Selanjutnya, garis \(x – 2y + 3 = 0\) memiliki gradien

\[ m = - \frac{ \text{Koefisien} \ x}{ \text{Koefisien} \ y} = - \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]

Karena \( y’ = m \) maka kita peroleh:

\begin{aligned} y' = m \Leftrightarrow 2x + 6 \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\[8pt] 2x &= \frac{1}{2}-6 \frac{1}{2} \\[8pt] x &= \frac{-6}{2} = -3 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi \(x = -3\) pada \(y\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} y &= x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= (-3)^2 + 6 \frac{1}{2}(-3) + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 19 \frac{1}{2} + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 5 = 4 \end{aligned}

Jadi, titik singgungnya di (-3,4). Dengan demikian, persamaan garis yang bergradien \( m = \frac{1}{2} \) dan melalui titik \( (x_1,y_2) = (-3,4) \) adalah

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}(x+3) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \\[8pt] 2y - 8 &= x + 3 \\[8pt] 2y - x - 11 &= 0 \end{aligned}

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(2y - x - 11 = 0\).

Pilihan jawaban yang tepat adalah D.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.