Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} \) konvergen atau divergen, jika konvergen tentukan nilainya.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret pada soal di atas dapat diubah menjadi dua deret geometri tak hingga. Berikut hasil yang kita peroleh:

Jadi, \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} \) konvergen ke nilai 2/3.

Keterangan:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{2}{4} \right)^n \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \( a = \frac{2}{4} \) dan \( r = \frac{2}{4} \), sehingga

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{2}{4} \right)^n &= \frac{a}{1-r} = \frac{2/4}{1-2/4} \\[8pt] &= \frac{2/4}{2/4} = 1 \end{aligned}

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{1}{4} \right)^n \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \( a = \frac{1}{4} \) dan \( r = \frac{1}{4} \), sehingga

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^{n+2}}{7^{n-1}} \) konvergen atau divergen, jika konvergen tentukan nilainya.

Pembahasan:

Deret pada soal dapat disederhanakan menjadi deret geometri. Berikut hasil yang kita dapatkan:

Jadi, \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} \) konvergen ke nilai 448/3.

Keterangan:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{4}{7} \right)^n \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \( a = \frac{4}{7} \) dan \( r = \frac{4}{7} \), sehingga