www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Barisan dan Deret   ›  Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-30 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter

Artikel ini membahas contoh soal tentang barisan dan deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga dapat dibedakan menjadi dua, yakni deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen. Contoh soal yang kita bahas di sini ditujukan untuk menentukan kekonvergenan dari deret geometri tak hingga tersebut.

Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} \) konvergen atau divergen, jika konvergen tentukan nilainya.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret pada soal di atas dapat diubah menjadi dua deret geometri tak hingga. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} &= \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n}{4^n} - \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{4^n} \\[8pt] &= \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{2}{4} \right)^n - \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{1}{4} \right)^n \\[8pt] &= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \quad \text{(konvergen)} \end{aligned}

Jadi, \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} \) konvergen ke nilai 2/3.

Keterangan:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{2}{4} \right)^n \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \( a = \frac{2}{4} \) dan \( r = \frac{2}{4} \), sehingga

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{2}{4} \right)^n &= \frac{a}{1-r} = \frac{2/4}{1-2/4} \\[8pt] &= \frac{2/4}{2/4} = 1 \end{aligned}

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{1}{4} \right)^n \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \( a = \frac{1}{4} \) dan \( r = \frac{1}{4} \), sehingga

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{1}{4} \right)^n &= \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/4} \\[8pt] &= \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3} \end{aligned}
Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^{n+2}}{7^{n-1}} \) konvergen atau divergen, jika konvergen tentukan nilainya.

Pembahasan:

Deret pada soal dapat disederhanakan menjadi deret geometri. Berikut hasil yang kita dapatkan:

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^{n+2}}{7^{n-1}} &= \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n \cdot 4^2}{\frac{7^n}{7}} = \sum_{n=1}^\infty \ 16 \cdot 4^n \times \frac{7}{7^n} \\[8pt] &= 112 \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{7^n} = 112 \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{4}{7} \right)^n \\[8pt] &= 112 \cdot \frac{4}{3} = \frac{448}{3} \quad \text{(konvergen)} \end{aligned}

Jadi, \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n-1}{4^n} \) konvergen ke nilai 448/3.

Keterangan:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{4}{7} \right)^n \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \( a = \frac{4}{7} \) dan \( r = \frac{4}{7} \), sehingga

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{4}{7} \right)^n &= \frac{a}{1-r} = \frac{4/7}{1-4/7} \\[8pt] &= \frac{4/7}{3/7} = \frac{4}{3} \end{aligned}

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.